Question

【題目】在△ABC 中，AC=BC，點 E 在是 AB 邊上一動點（不與 A、B 重合），連接 CE，點 P 是直線 CE 上一個動點．

（1）如圖 1，∠ACB=120°，AB=16，E 是 AB 中點，EM=2，N 是射線 CB 上一個動點， 若使得 NP+MP 的值最小，應如何確定 M 點和點 N 的位置？請你在圖 2 中畫出點 M 和點 N 的位置，并簡述畫法： 直接寫出 NP+MP 的最小值

（2）如圖 3，∠ACB=90°，連接 BP， BPC=75°且 BC=BP．求證：PC=PA．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；最小值為5；（2）證明見解析

【解析】

（1）畫法：作點M關于EC的對稱點，過作N⊥BC交EC于點P，交BC于點N ，根據作圖直接寫出NP+MP 的最小值即可；

（2）過P作PF⊥BC于點F，PD⊥AC交EC于點D，先證明△BFC≌△DPC，可得PF＝CD，再根據特殊三角函數值得PB＝2PF，再根據BC=BP，AC=BC，可得AC＝2CD ，再根據PD⊥AC，即可證明PC＝PA．

（1）畫法：作點M關于EC的對稱點，過作N⊥BC交EC于點P，

交BC于點N

∵AB=16，E 是 AB 中點

∴

∵，點是M關于EC的對稱點

∴

∴

∵，

∴

∵過作N⊥BC交EC于點P

∴

∴在中

故最小值為5

（2）過P作PF⊥BC于點F，PD⊥AC交EC于點D，

∵∠CPF＝∠PCD＝15°，

∠PFC＝∠PDC＝90°．

∴△BFC≌△DPC．

∴PF＝CD ．

∵∠PFB＝90°，∠PBF＝30°

∴PB＝2PF．

∵BC=BP，AC=BC

∴BP= AC

∴AC＝2CD

∵PD⊥AC

∴PC＝PA