Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝2，CD＝3，在BC上取點(diǎn)P（P與B、C不重合）連接PA延長(zhǎng)至E，使PA＝2AE，連接PD并延長(zhǎng)至F，使PD＝3FD，以PE、PF為邊作平行四邊形，另一個(gè)頂點(diǎn)為G，則PG長(zhǎng)度的最小值為_____．

Answer 1

【答案】7

【解析】

作如下輔助線：連接PG、EF交于點(diǎn)O，PG交AD于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作AM∥EO交PG于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN∥FO交PG于點(diǎn)N，由此可得△POE∽△PMA，△POF∽△PND，△AKM∽△DKN，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出平行四邊形的對(duì)角線PG必過(guò)點(diǎn)K，且 ，當(dāng)KP⊥BC時(shí)，PG的長(zhǎng)度最小，此時(shí)PK＝，所以OP＝，PG＝2OP＝7．

解：連接PG、EF交于點(diǎn)O，PG交AD于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作AM∥EO交PG于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN∥FO交PG于點(diǎn)N．

∵PA＝2AE，PD＝3FD，

∴，．

∵AM∥EO，DN∥FO，

∴△POE∽△PMA，△POF∽△PND，

∴，

，

∴MP＝OP，NP＝OP，AM＝EO，DN＝FO，

又∵在平行四邊形PEGF中，OE＝OF，

∴，

∵AM∥DN，

∴，

∵，

∴，

解得：OP＝PK．

由題意可知，PG必過(guò)點(diǎn)K，當(dāng)KP⊥BC時(shí)，PG最小，此時(shí)PK＝ ，

∴OP＝PK＝，

∴PG＝2OP＝7．

故答案為：7．