Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，點D是 的中點，DE是⊙O的切線，DF⊥AB于F，點G是 的中點

（1）求證：△ADE≌△ADF；

（2）若OF＝3，AB＝10，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2） ．

【解析】

（1）連接OD，證明DE∥BC，進而得∠E＝∠DFA＝∠ACB＝90°，由D是 的中點得∠DAE＝∠DAF，再結合公共邊，由AAS定理得結論；

（2）連接OD，OG，過O作OH⊥AC于H，過C作CK⊥OA于點K，由勾股定理求得 DF，便可得OH，再求AH，AK，再由相似三角形求得OM，最后求出扇形OAG，△OGM和△ACM的面積便可．

（1）證明：連接OD，如圖1，

∵點D是的中點，

∴∠DAF＝∠DAE，OD⊥BC，

∵DE是⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∴DE∥BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

∵AD＝AD，

∴：△ADE≌△ADF（AAS）；

（2）連接OD，OG，過O作OH⊥AC于H，過C作CK⊥OA于點K，如圖2，

則AH＝CH，∠GOA＝∠GOB＝90°，OA＝OB＝OD＝5，

∴OH＝DE＝DF＝ ，

∴CH＝AH＝ ，

∴BC＝ ，

∵ ，

∴CK＝ ，

∴AK＝

∴OK＝OA﹣AK＝ ，

∵OG∥CK，

∴△OGM∽△KCM，

∴ ，

即 ，

∴OM＝ ，

∴AM＝5﹣ ，

∴ ，

，

∴