Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，第一象限內的點P在直線y＝x上，過點P的直線交x軸正半軸于點A，交直線y＝3x于點B，點B在第一象限內．

(1)如圖1，當∠OAB＝90°時，求的值；

(2)當點A的坐標為(6，0)，且BP＝2AP時，將過點A的拋物線y＝﹣x2+mx上下方平移，使它過點B，求平移的方向和距離．

Answer 1

【答案】(1)5；(2)拋物線向下平移了個單位長度．

【解析】

（1）設點A橫坐標為a，由于∠OAB＝90°，即AB⊥x軸，所以P、B橫坐標也是a，分別代入直線解析式求P、B縱坐標，相減即能得到用a表示的BP、AP的值．

（2）分別過點P、B作x軸垂線，垂足分別為D、C，根據平行線分線段定理可得．設直線AB解析式為y＝kx+b，把A坐標代入得y＝kx﹣6k．把直線AB解析式分別與直線OP、OB解析式聯立方程組，求得點P、B的橫坐標（用k表示）即點D、C橫坐標，進而得到用k表示CD、DA的式子．根據CD＝2AD為等量關系列方程即求得k的值，即得到點B坐標．把點A代入原拋物線解析式求m，由于上下平移，故可在原拋物線解析式后+n以表示平移后的拋物線，把點B代入即求得n的值．n為負數時即表示向下平移．

(1)設點A坐標為(a，0)(a＞0)

∵∠OAB＝90°，點B在直線y＝3x上，點P在直線y＝x上

(2)如圖，過點B作BC⊥x軸于點C，過點P作PD⊥x軸于點D

∴BC∥PD

∵BP＝2AP

∴=2

∴CD＝2DA

設直線AB解析式為：y＝kx+b

∵A(6，0)

∴6k+b＝0，得b＝﹣6k

∴直線AB解析式為y＝kx﹣6k

當x＝kx﹣6k時，解得：x＝

∴xD＝xP＝

當3x＝kx﹣6k時，解得：x＝

解得：k＝﹣2

∴，即

∵拋物線y＝﹣x2+mx過點A

∴﹣36+6m＝0，解得：m＝6

設平移后過點B的拋物線解析式為y＝﹣x2+6x+n

∴

解得：n＝﹣

∴拋物線向下平移了個單位長度．