Question

【題目】如圖點O是等邊內一點，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，

（1）試說明：是等邊三角形；

（2）當時，試判斷的形狀，并說明理由；

（3）當為多少度時，是等腰三角形

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)△AOD是直角三角形，理由見解析；(3) 110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形.

【解析】

（1）根據CO=CD，∠OCD=60°，然后根據等邊三角形的判定方法即可得到△COD是等邊三角形；

（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等邊三角形得∠CDO=60°，于是可計算出∠ADO=90°，由此可判斷△AOD是直角三角形；

（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再進行分類討論：當∠AOD=∠ADO時，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；當∠AOD=∠DAO時，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；當∠ADO=∠DAO時，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分別解方程求出對應的α的值即可．

(1)∵∠ACD=∠BCO

∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°

又∵CO=CD

∴△COD是等邊三角形；

(2)∵△COD是等邊三角形

∴CO=CD

又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC

∴△ACD≌△BCO（SAS）

∴∠ADC=∠BOC=α=150°，

∵△COD是等邊三角形，

∴∠ADC=∠BOC=α=150°，

∵△COD是等邊三角形，

∴∠CDO=60°，

∴∠ADO=∠ADC∠CDO=90°，

∴△AOD是直角三角形；

(3)∵△COD是等邊三角形，

∴∠CDO=∠COD=60°，

∴∠ADO=α60°,∠AOD=360°60°110°α=190°α，

當∠AOD=∠ADO時,△AOD是等腰三角形,即190°α=α60°,解得α=125°；

當∠AOD=∠DAO時,△AOD是等腰三角形,即2(190°α)+α60°=180°,解得α=140°；

當∠ADO=∠DAO時,△AOD是等腰三角形,即190°α+2(α60°)=180°,解得α=110°，

綜上所述,∠BOC的度數為110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形.