Question

【題目】在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB上的一動點，E為AD中點，FE交CD延長線于Q，過E作EF⊥PQ交BC的延長線于F，則下列結論：①△APE≌△DQE；②PQ=EF；③當P為AB中點時，CF=；④若H為QC的中點，當P從A移動到B時，線段EH掃過的面積為，其中正確的是（　　）

A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③

Answer 1

【答案】B

【解析】利用正方形的性質、全等三角形的性質、勾股定理等知識一一判斷即可；

解：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，

∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，

∴△AEP≌△DEQ，故①正確，

②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，

∴∠PGQ=∠EMF=90°，

∵EF⊥PQ，

∴∠PEF=90°，

∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，

∴∠NPE=∠NEF，

∵PG=EM，

∴△EFM≌△PQG，

∴EF=PQ，故②正確，

③連接QF．則QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，設CF=x，

則（2+x）2+12=32+x2，

∴x=1，故③錯誤，

④當P在A點時，Q與D重合，QC的中點H在DC的中點S處，當P運動到B時，QC的中點H與D重合，

故EH掃過的面積為△ESD的面積的一半為，故④正確．

故選B．

“點睛”本題考查了正方形，全等三角形的性質和判定，平行線性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．