Question

【題目】如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程的兩個根是2和4，則方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．

（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；

（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代數式4m2﹣5mn+n2的值；

（3）若點（p，q）在反比例函數y＝的圖象上，請說明關于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；

（4）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，請說明2b2＝9ac．

Answer 1

【答案】（1）c的值為2；（2）0；（3）詳見解析；（4）詳見解析．

【解析】

（1）設出其中一個根，表示另一個根，根據根與系數的關系，求出方程的兩個根，進而求出c的值，

（2）方程有一個根為2，由“倍根方程”的意義可知另一個根為1或4，當另一個根為1時代入方程可得m﹣n=0，當另一個根為4代入方程可得4m﹣n=0，而代數式4m2﹣5mn+n2可分解為（m﹣n）（4m﹣n），因此4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，

（3）點（p，q）在反比例函數y的圖象上，可得pq=2，再根據求根公式求出方程的兩個根為x1，x2，進而判斷是“倍根方程”，

（4）設方程兩根為x1，2x1，根據根與系數的關系得到：x1+2x1=，x12x1=，化簡后可得結論．

（1）設一元二次方程x2﹣3x+c=0的一個根為x1，則另一個根為2x1，

由根與系數的關系得：x1+2x1=3，∴x1=1，即一個根為1，而另一個根為2，∴c=1×2=2，

答：c的值為2．

（2）方程（x﹣2）（mx﹣n）=0的一個根為2，則另一個根為1或4，

當另一個根為1時，則﹣1×（m﹣n）=0，∴m﹣n=0，

當另一個根為4時，則2×（4m﹣n）=0，∴4m﹣n=0，∴4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，

答：代數式4m2﹣5mn+n2的值為0．

（3）∵點（p，q）在反比例函數y的圖象上，∴pq=2，

關于x的方程px2+3x+q=0的根為x，

即：x1，x2，∴x1=2x2，

因此是“倍根方程”．

（4）設方程兩根為x1，2x1，根據根與系數的關系得到：x1+2x1=，x12x1=，∴x1=，，∴，∴2b2=9ac．