Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系第一象限內，直線y=x與直線y=2x的內部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，邊BC∥x軸，AB∥y軸，點A（1，1）在直線y=x上，點C在直線y=2x上：CB的延長線交直線y=x于點A1 ， 作等腰Rt△A1B1C1 ， 是∠A1B1C1=90°，B1C1∥x軸，A1B1∥y軸，點C1在直線y=2x上…按此規律，則等腰Rt△AnBnCn的腰長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設AB=a，
∵直線y=x與直線y=2x的內部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，邊BC∥x軸，AB∥y軸，點A（1，1）在直線y=x上，
∴C（，1﹣a，1+a），
∵點C在直線y=2x上，
∴1+a=2（1﹣a），
解得a= ，
∴等腰Rt△ABC的腰長為 ，
∴C（ ， ），
∴A1的坐標為（ ， ），
設A1B1=b，則C1（ ﹣b， +b），
∵點C1在直線y=2x上，
∴ +b=2（ ﹣b）
解得b= ，
∴等腰Rt△A1B1C1的腰長為
∴C1（ ， ）
∴A2（ ， ），
設A2B2=c，則C2（ ﹣c， +c），
∵點C2在直線y=2x上，
∴ +c=2（ ﹣c），
解得c= ，
∴等腰Rt△A2B2C2的腰長為 ，
以此類推，
A3B3= ，即等腰Rt△A3B3C3的腰長為 ，
A4B4= ，即等腰Rt△A4B4C4的腰長為 ，
…
∴AnBn= ，等腰Rt△AnBnCn的腰長為 ，
故答案為 ．
設設AB=a，利用兩個函數解析式求出點B、C的坐標，然后求出AB的長度，再根據B1C1∥x軸，A1B1∥y軸，利用y=x求出A 點的坐標，A1B1=b，則利用y=2x求出點C1（ ﹣b， +b），從而得到A1B1的長度，以此類推，求出A2B2、A3B3 ， 從而得出規律即可得解．