Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABD=∠CBD=60°，AC與BD相交于點E，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點F．
（1）判斷△ACD的形狀，并加以證明
（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ABD=∠CBD=60°，

∴∠CAD=∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD=60°，

∴△ACD是等邊三角形；

（2）解：在△ACF與△DCE中，

∴△ACF≌△DCE，

∴AF=DE=4，CE=CF=2，

∵CF是⊙O的切線，

∴FC2=FBAF，

∴22=FB4，

∴FB=1

∴AB=AF﹣BF=4﹣1=3，

∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，

∴△∠ABE∽∠DCE，

∴ = = = ，

∴ = ，

解得：CD=3．

【解析】（1）根據圓周角定理即可得到結論；（2）根據全等三角形的性質得到AF=DE=4，CE=CF=2，根據切線的性質得到FC2=FBAF，求得FB=1根據相似三角形的性質即可得到結論；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用圓內接四邊形的性質和切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握把圓分成n(n≥3):1、依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形2、經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．