Question

   下圖是某少年宮的平面圖，共有五個大廳，相鄰兩廳之間都有門相通（D 與E 兩廳除外），并且有一個入口和一個出口．問游人能否從入口入，一次不重復地穿過所有的門？如果可以，請指明穿行路線；如果不能，請你想一想，關閉哪扇門后就可以辦到？

Answer 1

考點：一筆畫定理

專題：傳統應用題專題

分析：（1）首先要判斷游人能否從入口入，一次不重復地穿過所有的門，可以轉化為圖（2）能否一筆畫完的問題，因為圖中有四個奇點：A、B、C、F，所以不可能一筆畫出，即游人不可能一次不重復地穿過所有的門；
（2）圖中有4個奇點時，只要把連接其中兩個奇點的一條邊去掉，就可以一筆畫出，即游人可以用剩下的兩個奇點分別作為起點和終點，不重復地穿過所有的門，關掉一扇門即去掉一條邊，因此，我們可以去掉邊AB或去掉邊AC，但是游人必須從入口進入，即結點F必須作為起點，本題中有4個奇點且只能去掉一條邊，因此F必須是奇點，即不能去掉與F相連的邊，所以A、B之間的門或A、C之間的門關閉后，游人就可以從入口入（FC、FD或FE），一次不重復地穿過所有的門，據此解答即可．

解答： 解：（1）要使游人能否從入口入，一次不重復地穿過所有的門，可以轉化為圖（2）能否一筆畫完的問題，
因為圖中有四個奇點：A、B、C、F，
所以不可能一筆畫出，
因此游人不可能一次不重復地穿過所有的門；

（2）圖中有4個奇點時，只要把連接其中兩個奇點的一條邊去掉，就可以一筆畫出，
即游人可以用剩下的兩個奇點分別作為起點和終點，不重復地穿過所有的門，
因為關掉一扇門即去掉一條邊，因此可以去掉邊AB或去掉邊AC，
但是游人必須從入口進入，即結點F必須作為起點，本題中有4個奇點且只能去掉一條邊，
因此F必須是奇點，即不能去掉與F相連的邊，
所以A、B之間的門或A、C之間的門關閉后，游人就可以從入口入（FC、FD或FE），一次不重復地穿過所有的門．

點評：此題主要考查了一筆畫定理的應用，解答此題的關鍵是要明確能一筆畫的圖形的特征：由偶點組成的連通圖，或只有兩個奇點的連通圖．