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江西省六校2009年3月高三聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷

命題人：奉新一中徐定榮帥章堅審題人：余席強(qiáng) 俞文琪

一、選擇題（本大題共12題，每題5分，共60分，在每題給出的4個選項(xiàng)中，只有1項(xiàng)正確）

1．含有3個元素的集合既可表示為，又可表示為，則x²⁰⁰⁹+y²⁰⁰⁹的值是（）

A．1 B．―1 C．2²⁰⁰⁹ D．(―2)²⁰⁰⁹

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2．若且，則向量與向量的夾角是（）

A．60° B．45° C．30° D．0°

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3．ㄓABC的內(nèi)角A、B、C分別對應(yīng)邊a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列且sinA=2sinC，則cosB=（）

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A． B． C． D．

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4．設(shè)集合A=，B=，則=( )

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A． B．｛2｝ C．｛x|x∈R且x≠2｝ D．R

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5．把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為m，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為n，方程組只有一組解的概率是（）

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A． B． C． D．

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6．有兩排座位，前排3個，后排4個，現(xiàn)安排2人就座，要求這兩人不相鄰（一前一后也視為不相鄰），那么不同的坐法種數(shù)是（）

A．32種 B．28種 C．20種 D．8種

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7．如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線∩BD₁=P，交正方體表面于M、N兩點(diǎn)，

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且M、N在底面的射影分別為M₁、N₁，直線⊥平面BDD₁B₁，

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若直線沿對角線BD₁自下而上平行地滑動，設(shè)BP=x，MN=y，

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A B C D

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8．某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對問題“已知不等式2xy≤ax²+2y²對于x∈[1,2]，y∈[2,3]上的任意x、y都成立，求a的取值范圍”進(jìn)行討論，有三位同學(xué)提出了各自的解題思路，甲說：“在不等式兩邊先除以x²再作分析”；乙說：“可視為一個變量來分析”；丙說：“把字母a單獨(dú)放在一邊，再作分析”。參照以上思路，結(jié)合你自己的其它解法，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

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A．[-1，+∞） B．[1，+∞） C．[0，+∞） D．[0.5，+∞）

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9．已知圓C：經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，則圓心C到雙曲線的漸近線的距離等于（）

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A． B． C． D．不存在

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10. 已知函數(shù)的最大值為M，最小值為N，則M+N的值是（）

A．0 B．2 C．4 D．4或―4

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11．已知y=g(x)滿足g(x-2)=g(-x),且方程g(x)=0只有兩個解x₁、x₂。若函數(shù)f(x)=(x-x₁)(x-x₂)，則 ( )

A． f(0)<f(2)<f(3) B．f(2)=f(0)<f(3) C． f(3)<f(0)=f(2) D．f(0)<f(3)<f(2)

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12．設(shè)a、b、n(n>0)為整數(shù)，若a和b被n除的余數(shù)相同，則稱a和b對模n同余，記作a≡b(mod n)。已知，b≡a(mod 10)，那么b的可能值是（）

A．2008 B．2009 C．2010 D．2011

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二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上。）

13. 定義一種新運(yùn)算mn=，例如32=2，設(shè)；則函數(shù)的最大值是。

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14．已知數(shù)列｛a_n｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁<2，前n項(xiàng)和S_n滿足(n∈N₊)，那么第8項(xiàng)的值是。

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15．已知函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx的圖象過點(diǎn)P（1，f(1)）且在點(diǎn)P處的切線方程為y=8x-6，則f(x)的遞減區(qū)間為。

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16．直線過拋物線y²=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，交拋物線于A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)兩點(diǎn)，若的傾斜角是，則下列判斷；①，②，③以AB為直徑的圓必與拋物線的準(zhǔn)線交于不同的兩點(diǎn)，④（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。其中正確的判斷是。

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三．解答題（本大題共6題，共74分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟）

17．（本題滿分12分）

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ㄓABC的內(nèi)角A、B、C分別對應(yīng)邊a、b、c，向量，且。

（1）求A；

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（2）若，求tanC.

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18．（本題滿分12分）

某中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試題中共有12道選擇題每道選擇題都有4個選項(xiàng)，其中有且僅有一個是正確的.評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選1項(xiàng)，答對得5分，不答或答錯得0分”，某考生每道題都給出了一個答案，已確定有7道題的答案是正確的，而其余5題中，有兩道題都可判斷出兩個選項(xiàng)是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項(xiàng)是錯誤的，還有兩道題因不理解題意只能亂猜。

（1）試求出該考生得60分的概率；

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（2）若該考生的失分x滿足不等式：，求該考生得分的概率。

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19．（本題滿分12分）

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如圖，己知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V-ABC的底面ABC，等邊三角形AB₁C所在平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°,設(shè)AC=2a，BC=a。

（1）求證：直線B₁C₁為異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；

（2）求A到平面VBC的距離；

（3）求二面角A-VB-C大小。

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20．（本題滿分12分）

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等差數(shù)列中，，為其前n項(xiàng)和，等比數(shù)列的公比q滿足|q|<1，為其前n項(xiàng)和，若，又。

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（1）求、的通項(xiàng)公式；

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（2）若c₁=a₁,c₂=a₂+a₃,c₃=a₄+a₅+a₆,…,求的表達(dá)式。

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21．（本題滿分12分）

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若函數(shù)(實(shí)數(shù)a、b、c為常數(shù)) ，若f(x)的圖象在點(diǎn)P(3,f(3))處

的切線與x軸平行。

（1）求b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

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（3）若a>0，且對任意的實(shí)數(shù)不等式恒成立。求a的取值范圍。

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22．（本題滿分14分）

已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁（0，-1），F(xiàn)₂（0，1），一條準(zhǔn)線為y=4。

（1）求橢圓方程；

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（2）設(shè)點(diǎn)P為橢圓上一動點(diǎn)，且，求的取值范圍。

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一．選擇題

BADCC ACCCC AD

二．填空題

13． 14． 29 15．（開閉區(qū)間均可） 16． ① ④

三、解答題

17．解：

（1）∵, ∴,

即………3分

則 ., ∴………6分

（2）由題知，得， ………8分

得sinB=2cosB， ………10分

∴ ………12分

18．解：

（1）得分為60分，12道題必須全做對。在其余的5道題中,有兩道題答對的概率為，

有一道題答對的概率為，還有兩道答對的概率為………2分

所以得分為60分的概率為：P＝………4分

（2）由可得 ………5分

得，得2<x<15，則x=5或x=10，則相應(yīng)得分為55分或50分……7分

得分為50分表示只做對了10道題，做錯2道題，所以概率為

+= ………9分

得分為55分表示只做對了11道題，做錯1道題，所以概率為：

P₂== ………11分

則所求概率為+=。答：該考生得分的概率為 ………12分

19．證明：

（1）面A₁B₁C₁∥面ABC，故B₁C₁∥BC，A₁C₁∥AC又BC⊥AC ，則B₁C₁⊥A₁C₁………2分

又面AB₁C⊥面ABC，則BC⊥面AB₁C，則BC⊥AB₁_，B₁C₁⊥AB₁ 又∵B₁C₁∩A₁C₁=C₁，

B₁C₁∩AB₁=B₁，故B₁C₁為異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線………4分

（2）由于BC⊥面AB₁C 則面VBC⊥面AB₁C，過A作AH⊥B₁C于H，則AH⊥面VBC

又AB₁C 為等邊三角形且AC=，則AH=為A到平面VBC的距離………7分

（3）過H作HG⊥VB于G，連AG則∠AGH為二面角A-VB-C的平面角

在RtB₁CB中 ………10分

又RtB₁HG∽RtB₁BC 則，即

故二面角A-VB-C的大小為………12分

（本題也可用建立空間直角坐標(biāo)系然后用空間向量求解，評分標(biāo)準(zhǔn)參照執(zhí)行）

20．解：

（1）設(shè){a_n}的公差d,為{b_n}的公比為q,則

………6分

（2）{C_n}的前n-1項(xiàng)中共有{a_n}中的1+2+3+…(n-1)=個項(xiàng)………8分

且{a_n}的第項(xiàng)為………10分

故C_n是首項(xiàng)為，公差為2，項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，

………12分

21．解：

（1）f^‘(x)=x²+ax+b,由 f^‘(3)=9+3a+b=0得b=-3a-9………2分

（2）令f^‘(x)= x²+ax-3a-9=（x-3）(x+a+3)=0得x=3或x=-a-3

當(dāng)a=-6時，f^‘(x)=≥0,則f(x)無單調(diào)遞減區(qū)間………4分

當(dāng)a>-6時，令f^‘(x) =（x-3）(x+a+3)≤0，得-a-3≤x≤3,

則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-a-3,3] ………6分

當(dāng)a<-6時,易得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[3,-a-3]

綜上所述當(dāng)a=-6時， f(x)無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a>-6時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-a-3,3],

當(dāng)a<-6時, f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[3,-a-3] ………8分

（3）由a>0知-a-3<-3，由（2）知f(x)在[-3，3]上是減函數(shù)，又-3≤3cos≤3,-3≤3sin≤3,則要恒成立只要|f(-3)-f(3)|<72恒成立………10分

又|f(-3)-f(3)|=18|a+2|<72,得-6<a<2,又a>0,則0<a<2………12分

22．解：

（1）由題意設(shè)橢圓方程為………1分

則，橢圓方程為………4分

（2）設(shè)，

則………7分

又則………9分

則=

………11分

由于，

因此的取值范圍為………14分

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