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已知函數f（x）=alnx+x²（a為實常數）．
（1）當a=-4時，求函數f（x）在[1，e]上的最大值及相應的x值；
（2）當x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數．
（3）若a＞0，且對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有，求實數a的取值范圍．

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一．選擇題

BADCC  ACCCC   AD

二．填空題

13．      14． 29     15．（開閉區間均可）   16． ①  ④

三、解答題

17．解：

（1）∵, ∴,

即………3分

則 .,  ∴………6分

（2）由題知，得， ………8分

得sinB=2cosB， ………10分

∴ ………12分

18．解：

（1）得分為60分，12道題必須全做對。在其余的5道題中,有兩道題答對的概率為，

有一道題答對的概率為，還有兩道答對的概率為………2分

所以得分為60分的概率為：P＝………4分   

   （2）由可得 ………5分

得，得2<x<15，則x=5或x=10，則相應得分為55分或50分……7分

得分為50分表示只做對了10道題，做錯2道題，所以概率為

+

+= ………9分

得分為55分表示只做對了11道題，做錯1道題，所以概率為：

P₂== ………11分

則所求概率為+=。答：該考生得分的概率為 ………12分

19．證明：

（1）面A₁B₁C₁∥面ABC，故B₁C₁∥BC，A₁C₁∥AC又BC⊥AC ，則B₁C₁⊥A₁C₁………2分

又 面AB₁C⊥面ABC，則BC⊥面AB₁C，則BC⊥AB_1，B₁C₁⊥AB₁  又∵B₁C₁∩A₁C₁=C₁，

 B₁C₁∩AB₁=B₁，故B₁C₁為異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線………4分

（2）由于BC⊥面AB₁C   則面VBC⊥面AB₁C，過A作AH⊥B₁C于H，則AH⊥面VBC

 又AB₁C 為等邊三角形且AC=，則AH=為A到平面VBC的距離………7分

（3）過H作HG⊥VB于G，連AG則∠AGH為二面角A-VB-C的平面角

在RtB₁CB中 ………10分

又RtB₁HG∽RtB₁BC  則，即

故二面角A-VB-C的大小為………12分

（本題也可用建立空間直角坐標系然后用空間向量求解，評分標準參照執行）

20．解：

（1）設{a_n}的公差d,為{b_n}的公比為q,則

………6分

（2）{C_n}的前n-1項中共有{a_n}中的1+2+3+…(n-1)=個項………8分

且{a_n}的第項為………10分

故C_n是首項為，公差為2，項數為n的等差數列的前n項和，

………12分

21．解：

（1）f^‘(x)=x²+ax+b,由 f^‘(3)=9+3a+b=0得b=-3a-9………2分

（2）令f^‘(x)= x²+ax-3a-9=（x-3）(x+a+3)=0得x=3或x=-a-3

當a=-6時，f^‘(x)=≥0,則f(x)無單調遞減區間………4分

當a>-6時，令f^‘(x) =（x-3）(x+a+3)≤0，得-a-3≤x≤3,

則f(x)的單調遞減區間為[-a-3,3] ………6分

當a<-6時,易得f(x)的單調遞減區間為[3,-a-3]

綜上所述當a=-6時， f(x)無單調遞減區間；當a>-6時，f(x)的單調遞減區間為[-a-3,3],

 當a<-6時, f(x)的單調遞減區間為[3,-a-3] ………8分

（3）由a>0知-a-3<-3，由（2）知f(x)在[-3，3]上是減函數，又-3≤3cos≤3,-3≤3sin≤3,則要恒成立只要|f(-3)-f(3)|<72恒成立………10分

又|f(-3)-f(3)|=18|a+2|<72,得-6<a<2,又a>0,則0<a<2………12分

22．解：

（1）由題意設橢圓方程為………1分

則，橢圓方程為………4分

（2）設，

則………7分

又則………9分

則=

………11分

由于，

因此的取值范圍為………14分