本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分共150分。考試時間為120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（每小題5分，共60分。下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答案的序號填在答題卡上）
1．已知
為 （ ）
A．（-1，1） B．（0，a） C．（0，1） D．
2．（理科）復數
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
（文科）已知向量a= (-3 ,2 ) , b=(x, -4) , 若a//b，則x= （ ）
A ．6
B ．
3．我們知道，函數
的圖象經過適當變換可以得到
的圖象，則這種變換可以是
（ ）
A． 沿x軸向左平移
個單位 B．沿x軸向右平移個單位
C．沿x軸向右平移
個單位 D．沿x軸向左平移個單位
4．（理科）已知函數
在點
處連續，則
的值是 （ ）
A．2 B．
（文科）曲線
在點（1，6）處的切線方程為
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（理科）在等差數列
中，設
為其前
項和，已知
，則
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
（文科）設{an}是公差為-2的等差數列，如果a1+ a4+ a7=50，則a6+ a9+ a12= （ ）
A． 20 B．
6．在R上定義運算
若不等式
對任意實數
成立，則
（ ）
A.
B.
C.
D.
7.某鐵路貨運站對6列貨運列車進行編組調度，決定將這6列車平均分成2組，且列車甲與列車乙不在同一個小組．如果甲車所在小組的3列列車先開出，那么這6列列車先后不同的發車順序共有 （ ）
A．108種 B．36種 C．432種 D．216種
8.設
是不同的直線，
、
、
是不同的平面，有以下四個命題
①
；②
；③
；④
；
其中正確的命題是 （ ）
Ａ．①④； Ｂ．②③； Ｃ．①③； Ｄ．②④；
9．已知雙曲線
的左、右焦點分別為
、
，拋物線
的頂點在原點，它的準線與雙曲線
的左準線重合，若雙曲線與拋物線的交點
滿足
，則雙曲線的離心率為
（ ）
A． B． C． D．2
10．（理科）在如圖所示的坐標平面的可行域內（陰影部分且包括邊界），若目標函數
取得最小值的最優 解有無數個，則
的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
（文科）若不等式組 
表示一個三角形區域，則a的取值范圍是 （
）
A．a<5 B．a≥
11. 已知函數
+3，
是
的反函數，若m+n=6，則
的值為
（ ）
A．0 B．
12．已知定義在R上的函數滿足
，
圖象關于點
對稱，且
則
的值是 （ ）
A．2 B．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置.)
13．
的展開式中的常數項是
.
14．（理科）隨機變量
，若
，則
（文科）某工廠生產A、B、C三種不同型號的產品，產品數量之比依次為2：3：4，現用分層抽樣的方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A型號的產品有16件，那么此樣本容量n= .
15．用一平面去截體積為
的球，所得截面的面積為
，則球心到截面的距離為_______．
16．下列有關函數
四個命題中：
① 函數的值域為
② 函數的最小正周期為π
③ 函數為偶函數，其圖像的對稱軸為
④ 函數的單調增區間為
其中正確命題是 ．
三、解答題：(本大題共6小題，共70分 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17．（本小題滿分10分）已知函數
，
（1）求函數的最小正周期；
（2）在
中，已知
為銳角，
,
,求
邊的長.
18．（本小題滿分12分）
（理科）某中學組建A、B、C、D、E五個不同的社團組織，為培養學生的興趣愛好，要求每個學生必須參加，且只能參加一個社團。假定某班級的甲、乙、丙三名學生對這五個社團的選擇是等可能的。
（I）求甲、乙、丙三名學生參加五個社團的所有選法種數；
（II）求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加同一社團的概率；
（III）設ξ為甲、乙、丙這三個學生參加A社團的人數，求ξ的分布列與數學期望。
（文科）某商場舉行抽獎活動，從裝有編為0，1，2，3四個小球的抽獎箱中同時抽出兩個小球，兩個小球號碼相加之和等于5中一等獎，等于4中二等獎，等于3中三等獎。
（1）求中三等獎的概率；
（2）求中獎的概率。
19．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S―ABCD的底面是邊長為1的
正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=
.
（I）求證BC
SC；
（II）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；
（III）若M為SA的中點，求DM與SB所成角的大小.
20．（本小題滿分12分）
設數列
的前項和為
，
，已知
（n =1， 2,3，…）
（1）求證：
是等差數列；
（2）設Tn是數列
的前項和，求使
對所有
的
都成立的最大正整數
的值.
21．（本小題滿分12分）
（理科）已知點B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足
（1）求點P的軌跡C對應的方程；
（2）已知點
在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD、AE，且AD、AE的斜率
=2，試推斷：動直線DE是否過定點？證明你的結論。
（文科）設點
，動圓經過點
且和直線
相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程
（2）過點作互相垂直的直線
、
，分別交曲線于
、
和
、
四個點，求四邊形
面積的最小值。
22. （本小題滿分12分）
（理科）已知函數
.
（1）求函數在
上的最大值、最小值；
（2）求證：在區間
上，函數的圖象在函數
的圖象的下方；
（3）求證：
≥
N*）.
（文科）設
，函數
.
（Ⅰ）求
的單調區間；
（Ⅱ）若對任意
，不等式
恒成立，求a的最大值；
（Ⅲ）若方程
存在三個相異的實數根，求a的取值范圍.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
A
C
D
C
B
C
B
A
二、填空題（每題5分，共20分）
13. 60 14. 72 15. 
16. ②③④
三．解答題：（本大題共6個小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
17. 解（1）
（2分）
（4分）
的最小正周期為π。
（5分）
（2）
（6分）
18.解：兩個小球號碼相加之和等于3中三等獎，兩個小球號碼相加之和不小于3中獎，設
“中三等獎”的事件為A，“中獎”的事件為B，從四個小球任選兩個共有（0，1），（0，
2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）六種不同的方法。 ……………2分
（Ⅰ）兩個小球號碼相加之和等于3的取法有2種：（0，3），（1，2）。……………4分
故P（A）=
……………6分
（Ⅱ）解法一：兩個小球號碼相加之和等于1的取法有1種：（0，1）……………7分
兩個小球號碼相加之和等于2的取法有1種：（0，2） ……………9分
故P（B）=-
……………12分
解法二：兩個小號碼相加之和等于3的取法有2種：（0，
3），（1，2）；
兩個小號碼相加之和等于4的取法有1種：（1，3）；
兩個小號碼相加之和等于5的取法有1種：（2，3）；
故P（B）=
………12分
分
19． [方法一]：（幾何法）
（I）證法一：如圖∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC
∵SD⊥底面ABCD，
∴DC是SC在平面ABCD上的射影，
由三垂線定理得BC⊥SC ………….…………4分
證法二：如圖
∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，
又∵DC∩SD=D，
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC. …………4分
（II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，
∴可把四棱錐S―ABCD補形為長方體A1B1C1S―ABCD，
如圖，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面
BCSA1所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC//A1S，
∴SC⊥A1S，
又SD⊥A1S，
∴∠CSD為所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=
，
在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為45°. ……………8分
解法二：如圖過點S作直線
∥AD
∵底面ABCD為正方形
∴∥AD,∥BC
∴在面BSC上，
∴為面ASD與面BSC的交線
,
∴
，
∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=；在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為 45°. …………8分
（III）解法一：如圖
∵SD=AD=1，∠SDA=90°，
∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜邊SA的中點，
∴DM⊥SA.
∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，
∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂線定理得DM⊥SB.
∴異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………12分
解法二：如圖取AB中點P，連結MP，DP.
在△ABS中，由中位線定理得 MP//SB，
∴
是異面直線DM與SB所成的角.
，
又
∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2，
∴
即異面直線DM與SB所成的角為
……………12分
[方法二]：（向量法）
解析：如圖所示，以D為坐標原點建立直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
M（
，0，），
∵ SB=，DB=，SD=1，∴ S（0，0，1），… ……2分
（I）證明：∵ 
，
∴ 
，即BCSC．
……………………5分
（II）設二面角的平面角為θ，由題意可知平面ASD的一個法向量為
，
設平面BSC的法向量為
，
由
，
得
，
∴ 面ASD與面BSC所成的二面角為45°． ……………10分
（III）設異面直線DM與SB所成角為α，
∵ 
，
得
∴ 異面直線DM與SB所成角為．
…………………12
20．解：（1）依題意 ，
，故
…1分,
當
時，
① 又 ②
②?①整理得：
，故為等比數列 …………………3分
且
…………4分
∴
………………………………….……….5分
，即是等差數列………………….6分
（2）由（1）知，
…8分.
…………9分，依題意有
，
解得
……………………….…….11分
故所求最大正整數的值為
……………………………………………12分
21.題：（1）
[方法一]：
解：設點P（x,y）
依題意
化簡得x2=6y
∴W：x2=6y ………………………………….……….5分
[方法二]：
解：依題意動點P到定點和定直線的距離相等，所以點P表示以為焦點，為準線的拋物線.
∴ p=3
∴W：x2=6y ………………………………….……….5分
（2）設LAC：
…………………………①
LBD：
………………………②
又W：x2=6y …………………………③
由①②
…………….…8分.
∴|AC|=6（k2+1）
同理|BD|=6
……………….…10分.
當k=±1時取等號 ………………………………………12分
22．（I）解：
令
從而的單調遞增區間為
；
單調遞減區間（－，）.
……………………………………………3分
（II）解：由 
………………………………4分
由（I）得，函數
從而當x=－時，函數
取得最大值
……………………6分
因為對于任意
，
故
，從而a的最大值為
.…………………………8分
（III）解：當x變化時，
變化情況如下表：
x
－
（－，）
（，+∞）
+
0
－
0
+
極大植
極小值
①由的單調性，當極大植<0或極小值>0時，方程=0最多有一個實數根；
②當
時，解方程=0，得
，即方程=0只有兩個相異的實數根；
③當
時，解方程=0，得
，即方程=0只有兩個相異的實數根.
如果方程=0存在三個相異的實數根，則
…12分
事實上，當
時，
12分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
A
C
D
C
B
D
B
A
二、填空題（每題5分，共20分）
13. 60 16. ② ③ ④
三．解答題：（本大題共6個小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
17. 解（1） （2分）
（4分）
的最小正周期為π。
（5分）
（2） （6分）
18. 解：（I）甲、乙、丙三名學生每人選擇五個社團的方法數是5種，
故共有5×5×5=125（種）。 ……………………………………3分
（II）三名學生選擇三個不同社團的概率是：
………………5分
∴三名學生中至少有兩人選擇同一社團的概率為
…………6分
（III）由題意
ξ
0
1
2
3
P
………………9分
…………12分
19． [方法一]：（幾何法）
（I）證法一：如圖∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC
∵SD⊥底面ABCD，
∴DC是SC在平面ABCD上的射影，
由三垂線定理得BC⊥SC ………….…………4分
證法二：如圖
∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，
又∵DC∩SD=D，
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC. …………4分
（II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，
∴可把四棱錐S―ABCD補形為長方體A1B1C1S―ABCD，
如圖，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面
BCSA1所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC//A1S，
∴SC⊥A1S，
又SD⊥A1S，
∴∠CSD為所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，
在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為45°. ……………8分
解法二：如圖過點S作直線∥AD
∵底面ABCD為正方形
∴∥AD,∥BC
∴在面BSC上，
∴為面ASD與面BSC的交線
,
∴，
∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=；在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為 45°. …………8分
（III）解法一：如圖
∵SD=AD=1，∠SDA=90°，
∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜邊SA的中點，
∴DM⊥SA.
∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，
∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂線定理得DM⊥SB.
∴異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………12分
解法二：如圖取AB中點P，連結MP，DP.
在△ABS中，由中位線定理得 MP//SB，
∴是異面直線DM與SB所成的角.
，
又
∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2，
∴
即異面直線DM與SB所成的角為 ……………12分
[方法二]：（向量法）
解析：如圖所示，以D為坐標原點建立直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，1，0），M（，0，），
∵ SB=，DB=，SD=1，∴ S（0，0，1）， … ……… ……2分
（I）證明：∵ ，
∴ ，即BCSC．
……………………5分
（II）設二面角的平面角為θ，由題意可知平面ASD的一個法向量為，
設平面BSC的法向量為，
由，
得，
∴ 面ASD與面BSC所成的二面角為45°． ……………10分
（III）設異面直線DM與SB所成角為α，
∵ ，
得
∴ 異面直線DM與SB所成角為．
…………………12
20．解：（1）依題意 ，，故 ……………1分,
當時， ① 又 ②
②?①整理得：，故為等比數列
…………………3分
且
…………4分
∴…….5分
，即是等差數列 ………………….6分
（2）由（1）知，
…8分.
……………………9分，
依題意有，
解得
故所求最大正整數的值為
…………………………………12分
21.解：（1）設
化簡得
…………………… 3分
（2）將
……………………4分
法一：
兩點不可能關于軸對稱，
的斜率必存在
設直線DE的方程為
由
……………………6分
…………………… 7分
且
…………………… 8分
將
代化入簡得
將
，
過定點（-1，-2） …………………… 10分
將
，
過定點（1，2）即為A點，舍去 
…………………… 12分
法二：設
……………………5分
則
…………………… 6分
同理
由已知得
…………7分
設直線DE的方程為
得
……………………9分
…………10分
即
直線DE過定點（-1，-2） ……………………12分
22.解：（1）∵f¢ (x)=
∴當xÎ時，f¢ (x)>0， ∴在上是增函數
故
，
. ……………………4分
（2）設
，則
，
∵
時，∴
，故
在
上是減函數.
又
，故在上，
，即
，
∴函數的圖象在函數的圖象的下方. ……………………8分
（3）∵x>0，∴
，當
時，不等式顯然成立；
當≥
時，有
≥
∴≥N*）
…………………12分
本資料由《七彩教育網》www.7caiedu.cn 提供！
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com