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專題三：數列

【考點審視】

（本部分內容是根據近幾年高考命題規律和趨勢透視本單元考查的重點.）

本章內容是中學數學的重點之一，它既具有相對的獨立性，又具有一定的綜合性和靈活性，也是初等數學與高等數學的一個重要的銜接點，因而歷來是高考的重點.

高考對本章考查比較全面,等差、等比數列，數列的極限的考查幾乎每年都不會遺漏.就近五年高考試卷平均計算，本章內容在文史類中分數占13％，理工類卷中分數占11％，由此可以看出數列這一章的重要性.

本章在高考中常見的試題類型及命題趨勢：

（1）數列中與的關系一直是高考的熱點，求數列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關系.關于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項”，近幾年命題嚴格按照《考試說明》，不要求較復雜由遞推公式求通項問題，例如2004年全國卷一?（15）、（22）.

（2）探索性問題在數列中考查較多，試題沒有給出結論，需要考生猜出或自己找出結論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.

（3）等差、等比數列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，例如2004全國高考?浙江卷?（3）、（17）（文）、（22）均考查了等差、等比數列的性質，還有2004年全國高考?上海卷?（4）、（12）均有提及.

（4）求和問題也是常見的試題，等差數列、等比數列及可以轉化為等差、等比數列求和問題應掌握，還應該掌握一些特殊數列的求和.

（5）將數列應用題轉化為等差、等比數列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.例如2003年全國高考?新課程卷?解答題（19）主要考查了等比數列的性質及遞推關系；2004年全國高考?上海卷?

解答題（）主要考查了等差數列及證明.

通過上述分析，在學習中應著眼于教材的基本知識和方法，不要盲目擴大，應著重做好以下幾方面：

（1）理解概念，熟練運算

（2）巧用性質，靈活自如

【疑難點拔】

（解釋重點、難點及知識體系，尤其是考試中學生常見錯案分析.）

數列部分的復習分三個方面:①重視函數與數列的聯系，重視方程思想在數列中的應用。②掌握等差數列、等比數列的基礎知識以及可化為等差、等比數列的簡單問題，同時要重視等差、等比數列性質的靈活運用。③要設計一些新穎題目，尤其是通過探索性題目，挖掘學生的潛能，培養學生的創新意識和創新精神，數列綜合能力題涉及的問題背景新穎，解法靈活，解這類題時，要教給學生科學合理的思維，全面靈活地運用數學思想方法。

數列部分重點是等差、等比數列，而二者在內容上是完全平行的，因此，復習時應將它們對比起來復習；由于數列方面的題目解法的靈活性和多樣性，在復習時，要啟發學生從多角度思考問題，培養學生思維的廣闊性，養成良好的思維品質；提倡一題多解，達到事半功倍的效果。

錯案分析：

例1.各項均為實數的等比數列的前項和記為，若，，則等于__________.

[錯解一], 或.

[錯因]將等比數列中成等比數列,誤解為成等比數列.

[錯解二]是等比數列,成等比數列其公比為,從而,得或,或,

或,或.

[錯因]忽視了隱含條件.

[正解]由題設得: ① , ②,

② ①得或（舍去），.

例2．已知數列的前項和為非零常數），則數列為（）

（A）等差數列（B）等比數列

（C）既不是等差數列，又不是等比數列（D）既是等差數列又是等比數列

[錯解],，（常數），數列為等比數列.

[錯因]忽略了中隱含條件.

[正解]當時,,當時,,

,為常數,但,數列從第二項起為等比數列,選C.

例3.某種細菌在培養過程中,每分鐘分裂一次(一個分裂成二個)經過h這種細菌由一個可繁殖成_________個.

[錯解一]由題意每次分裂數構成等比數列,公比為,共繁殖次,

個

[錯解二] 由題意每次分裂數構成等比數列,公比為,共繁殖次,細菌由一個可繁殖成

[正解] 由題意知,每次分裂細菌數構成等比數列,,公比,共分裂次,第次應為,(個)

例4.一個球從高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半,當它第次著地時,共經過了多少米?

[錯解]因球每次著地后跳回到原高度的一半,從而每次著地之間經過的路程構成一個等比數列,.

[錯因]每兩次著地之間經過的路程應為上、下路程之和;而第一次從落下時只有下的路程,應單獨計算.

[正解].

例5.在等差數列中,已知,前項和為,且,求當取何值時, 有最大值,并求它的最大值.

[錯解]設公差為,, ,得

,即,,當時, ,

,當時,有最大值.

[錯因]僅解不等式是不正確的,應解.

[正解]由,解得公差,

,,.

所以,當或時, 有最大值為.

[例6]一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉為新的一年定期，當孩子歲上大學時，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數為多少？

[錯解]年利率保持不變，每年到期時的錢數形成一等比數列，那么年時取出的錢數應為以為首項，公比為的第項，即

[錯因]上述解法只考慮了孩子出生時存入的元，到年時的本息，而題目的要求是每年都要存入元。

[正解]不妨從每年存入的元到年時產生的本息入手考慮，出生時的元到年時變為，

歲生日時的元到歲時變為，……

歲時的元到歲時變為

從而知，如此存款到歲時取回的錢的總數應為：

專題三：數列

【經典題例】

例1：已知下面各數列的前項的和為的公式，求數列的通項公式。

（1）且；

（2）若數列的前項和。

[思路分析]：

（1）當時，，

用累乘法、迭代法可求得。

（2）當時，，由于不適此式，所以。

[簡要評述]：由求的唯一途徑是，注意分類思想在本題中的應用以及累乘、迭代等方法的應用。

例2：等差數列中，，，問此數列前多少項和最大？并求此最大值。

[思路分析]：

方法一：利用等差數列的求和公式處理，由及得

，，依二次函數性質可知，當時，取最大值，且最大值是。

方法二：數形結合處理，由等差數列的求和公式可得，

的圖象是開口向下的拋物線上的一群離散點，最高點的橫坐標為，

即最大，易求得最大值為。

方法三：利用等差數列的性質處理，由可得

，又，從而，，，故最大。

[簡要評述]：數列是特殊的函數，因此求最值問題就是一個重要題型，又因為等差數列前項和一般是不含常數項的二次函數，因此，求最大值可用二次函數法求之，也可根據對稱軸來判斷，由于數列的特殊性還可以把通項公式寫出來，由或來解決，特別注意，用（）時，若解得，是正整數時，說明中有為的項，因此前項和最大（最小）有兩項且它們相等。