Question

如圖所示的光滑水平面上，質量為M的平板車上依次放有5個質量均為m的小滑塊(不計其大小)，質量關系為M＝5 m，已知平板車長L＝1 m，小滑塊與平板車間的動摩擦因數μ＝9/20，g＝10 m/s²。現突然給最左端的小滑塊沿平板向右的速度v₀，當其相對地的速率降至v₀/2時恰好與前方的第2個滑塊相碰。碰撞時間極短，碰撞后兩滑塊的速度變?yōu)閷Ψ脚鲎睬暗乃俣?也叫速度交換)。以后將陸續(xù)發(fā)生小滑塊相碰，碰撞時間都很短，碰后均交換速度。最后第5個滑塊恰好滑至平板車右端而與平板車相對靜止。
(1)求v₀的值；
(2)寫出第一個小滑塊運動中其相對地的最上速度的表達式；
(3)求平板車勻加速運動過程中的位移s。

Answer 1

(1)3.14 m/s  (2)  (3)0.1 m

第一個滑塊以初速度v₀在平板車上作勻減速運動。平板車在滑動摩擦力作用下帶著上面的其他小物體一起向右做勻加速運動。第1個小滑塊與第2個小滑塊相碰后它立即取得與車相同的速度而隨車一起做勻加速運動。第二個小滑塊獲得第1個小滑塊的速度而做勻減速運動。以后依次為第2個小滑塊與第3個小滑塊相碰，各自交換速度，分別做勻加速運動與勻減速運動，直至第5個小滑塊滑至平板車的最右端，這一過程中各個小滑塊相對平板車滑動的距離之和等于平板車的長度，最后所有小滑塊與車取得相同的速度。
根據動量守恒定律可以求得最后各滑塊與車的共同速度v
mv₀＝(M＋5m)v
根據能量轉化關系有 μmg·L＝mv₀²－（M＋5m）v²
由此解得  v₀＝
代入數據  M＝5m,μ＝，L＝1 m，得v₀＝ m/s＝3.14 m/s
(2) 第1個滑塊與第2個滑塊相碰后的速度即為它運動的最小速度，根據題意知這一速度就是碰撞前平板車的速度v₁，由動量守恒定律得
mv₀＝m·v₀＋(M＋5 m)v₁
解得 v₁＝v₀18
(3)加速度a＝＝0.5 m/s²
加速過程結束后平板車的速度由前面可得v＝
平板車的位移s＝＝0.1 m