Question

（16分）如圖所示，AB為固定在豎直平面內粗糙傾斜軌道，BC為光滑水平軌道，CD為固定在豎直平面內的光滑圓弧軌道，且AB與BC通過一小段光滑弧形軌道相連，BC與弧CD相切。已知AB長為L=10m，傾角θ=37°，BC長s=m，CD弧的半徑為R=m，O為其圓心，∠COD=143°。整個裝置處在水平向左的勻強電場中，電場強度大小為E=1×10³N/C。一質量為m=0.4kg、電荷量為q= +3×10 ^-3C的物體從A點以初速度v_A=15m/s沿AB軌道開始運動。若物體與軌道AB間的動摩擦因數為μ=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，物體運動過程中電荷量不變。求
（1）物體在AB軌道上運動時，重力和電場力對物體所做的總功；
（2）物體能否到達D點；
（3）物體離開CD軌道后運動的最高點相對于O點的水平距離x和豎直距離y。

Answer 1

（1）0（2）不能到達D點  （3）2.05m

試題分析：（1）物體所受重力和電場力的合力大小為
          （1分）
合力與豎直方向的夾角為α

                           （1分）
所以物體在軌道AB上運動時重力和電場力對物體做的總功為W=0       （1分）
（2）D點為CD軌道上的等效最高點，設物體能到D點，其速度為v_D
對物體由A到D的過程由動能定理得
          （2分）
設物體剛能到D點時速度為v₀
由牛頓第二定律得
                   （2分）
解得v₀>v_D
因此物體不能到達D點        （1分）
（3）物體剛要離開軌道時軌道對物體的彈力為零，設此時物體位置與O點連線與豎直方向的夾角為β，物體速度為v
          （2分）
      （2分）
解得v=5m/s，sinβ=0.8                      （1分）
物體離開軌道后做斜拋運動，設其到最高點的時間為t
vsinβ= gt
t=0.4s                                      （1分）
物體運動的最高點相對O點的水平距離、豎直距離分別為
        （1分）
              （1分）
點評：本題難度較大，屬于多過程問題，其中涉及到了重力和電場力做功，和圓周運動的臨界問題，利用動能定理解題時找到初末狀態，剛好通過圓周最高點的臨界速度不為零，而是由重力提供向心力