Question

如圖所示，Oxyz為空間直角坐標系，其中Oy軸正方向豎直向上。在整個空間中存在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小為B。現有一質量為、電荷量為q（q＞0）的帶電小球從坐標原點O以速度v₀沿Ox軸正方向射出，重力加速度為g，空氣阻力可忽略不計。

（1）若在整個空間加一勻強電場，小球從坐標原點O射出恰好做勻速圓周運動，求所加電場的場強大小，以及小球做勻速圓周運動第一次通過z軸的z坐標；
（2）若改變第（1）問中所加電場的大小和方向，小球從坐標原點O射出恰好沿Ox軸做勻速直線運動，求此時所加勻強電場的場強大小；
（3）若保持第（2）問所加的勻強電場不變而撤去原有的磁場，小球從坐標原點O以速度v₀沿Ox軸正方向射出后，將通過A點，已知A點的x軸坐標數值為x_A，求小球經過A點時電場力做功的功率。

Answer 1

（1），（2）（3）

試題分析：（1）設所加電場場強大小為E₁，由于帶電小球從坐標原點O射出在電場和磁場共存的區域做勻速圓周運動，所以帶電小球受到的電場力必定與重力平衡，有 qE₁=mg。
解得 
設帶電小球做勻速圓周運動的半徑為R，
根據牛頓第二定律和向心力公式  ，解得 
帶電小球第一次通過z軸的z坐標
（2）設所加電場場強大小為E₂，帶電小球做勻速直線運動，它所受重力mg、洛倫茲力以及電場力三力合力為零。
因洛倫茲力沿z軸的負方向，重力沿y軸的負方向，
所以電場力 
解得
（3）當撤去磁場后，帶電小球只受電場力和重力作用，這兩個力的合力大小為，方向指向Oz正方向，所以小球在xOz平面做勻變速曲線運動。
帶電小球沿Ox軸正方向以v₀做勻速直線運動，小球從坐標原點O射出，運動到A點所用時間
帶電小球沿Oz軸正方向做初速為零的勻加速直線運動，其加速度大小
帶電小球到A點時沿Oz正方向的分速度大小為
因重力在這個過程中不做功，小球經過A點時，電場力做功的功率等于合外力在此時的瞬時功率，解得
點評：本題個解題關鍵是根據小球的運動情況分析所加電場的大小和方向，圓周運動就是讓電場力平衡重力，勻速直線運動就是讓電場力、重力、洛倫茲力合力為零，在第（3）問中要注意小球受到的合力大小等于洛倫茲力大小，方向與之相反，小球做類平拋運動。