Question

【題目】如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，B點為水平面與軌道的切點，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質量為m的質點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點．試求：

（1）質點運動到C處時的速度大小．
（2）推力對小球所做的功．
（3）x取何值時，完成上述運動推力所做的功最小？最小功為多少．

Answer 1

【答案】
（1）

解：質點從半圓弧軌道做平拋運動又回到A點，設質點在C點的速度為vC，

質點從C點運動到A點所用的時間為t，則

在水平方向：x=vCt ①

豎直方向上：2R= gt2 ②

解①②有：vC= ③

（2）

解：對質點從A到C，由動能定理有：WF﹣mg2R= mvC2﹣0 ④

解得：WF= ⑤

（3）

解：要使F力做功最少，確定x的取值，由④式得 WF=mg2R+ mvC2﹣0，

則知，只要質點在C點速度最小，則功WF就最小．

若質點恰好能通過C點，其在C點最小速度為v，

由牛頓第二定律有：mg=m ，解得：v= ⑥

由③⑥有 = ，解得x=2R時，WF最小，最小的功WF=mg2R++ mvC2= mgR

【解析】（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當到達B點撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運動到C處后，又正好落回A點．因小球離開C點后做平拋運動，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小；（2）選取從A到C過程，由動能定理可求出推力對小球所做的功．（3）力F做功越小，小球到達B點的速度越小，到達最高點C的速度越小，當小球恰好到達C點時，由重力充當向心力，此時C點的速度最小，力F做功最小．先由牛頓第二定律求出小球通過C點的最小速度，然后求出最小功．