Question

【題目】某企業響應省政府號召，對現有設備進行改造，為了分析設備改造前后的效果，現從設備改造前后生產的大量產品中各抽取了件產品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項質量指標值落在內的產品視為合格品，否則為不合格品.如圖是設備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表是設備改造后的樣本的頻數分布表.

表：設備改造后樣本的頻數分布表

質量指標值
頻數

（1）完成下面的列聯表，并判斷是否有的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關；

	設備改造前	設備改造后	合計
合格品
不合格品
合計

（2）根據頻率分布直方圖和表 提供的數據，試從產品合格率的角度對改造前后設備的優劣進行比較；

（3）企業將不合格品全部銷毀后，根據客戶需求對合格品進行登記細分，質量指標值落在內的定為一等品，每件售價元；質量指標值落在或內的定為二等品，每件售價元；其它的合格品定為三等品，每件售價元.根據表的數據，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件相應等級產品的概率.現有一名顧客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為（單位：元），求的分布列和數學期望.

附：

Answer 1

【答案】(1)列聯表見解析； 有的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關。

(2)設備改造后性能更優．

(3)分布列見解析；.

【解析】分析：（1）根據設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數分布表完成列聯表，求出，與臨界值比較即可得結果；（2）根據頻率分布直方圖和頻數分布表，可得到設備改造前產品為合格品的概率和

設備改造后產品為合格品的概率，從而可得結果；（3）隨機變量的取值為：，利用古典概型概率公式，根據獨立重復試驗概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數學期望.

詳解：（1）根據設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數分布表．

完成下面的列聯表：

	設備改造前	設備改造后	合計
合格品
不合格品
合計

將列聯表中的數據代入公式計算得：

∵，

∴有的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關．

（2）根據設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數分布表．

可知，設備改造前產品為合格品的概率約為

設備改造后產品為合格品的概率約為

設備改造后產品合格率更高，因此，設備改造后性能更優．

（3）由表 1 知：

一等品的頻率為，即從所有產品中隨機抽到一件一等品的概率為；

二等品的頻率為，即從所有產品中隨機抽到一件二等品的概率為；

三等品的頻率為，即從所有產品中隨機抽到一件三等品的概率為.

由已知得：隨機變量的取值為：．

∴隨機變量的分布列為：

∴.