Question

如圖所示，傾角為37°的足夠長粗糙斜面下端與一足夠長光滑水平面相接，斜面上有兩小球A、B，距水平面高度分別為h₁=5.4m和h₂=0.6m．現由靜止開始釋放A球，經過一段時間t后，再由靜止開始釋放B球．A和B與斜面之間的動摩擦因素均為μ=0.5，重力加速度g=10m/s²，不計空氣阻力，設小球經過斜面和水平面交界處C機械能不損失，（sin37°=0.6，cos37°=0.8）． 求：
（1）為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過多少？
（2）若A球從斜面上h₁高度處由靜止開始下滑的同時，B球受到恒定外力作用從C點以加速度a 由靜止開始向右運動，則a為多大時，A球有可能追上B球？

Answer 1

分析：（1）由牛頓第二定律求出物體在斜面上的加速度，利用運動學公式求出在斜面上的時間，為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，則滿足：t=t₁-t₂；
（2）若A球能追上B球，則二者位移應該相等，求出加速度

解答：解：（1）球在斜面上時，由牛頓第二定律得：gsin37°-μmgcos37°=ma，
解得，A、B的加速度：aA=aB=gsin37°-μgcos37°=2m/s2，
A球到C點的時間為：SA=

h1

sin37°

=

1

2

aAtA2         tA=

2h1 aAsin37°

=3 s，
B球到C點的時間為：SB=

h2

sin37°

=

1

2

aBtB2         tB=

2h2 aBsin37°

=1 s，
A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長為：t=t_A-t_B=2s；
（2）A球到C點的速度為：v_A=a_At_A=6m/s，
設t時刻A能追上B，則：vA(t-tA)=

1

2

at2，
又：t≤

vA

a

，
解得：a≤1m/s²，
即B球加速度a 最大不能超過1m/s²；
答：（1）為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過2s．
（2）B球加速度a 最大不能超過1m/s²時，A球有可能追上B球．

點評：本題考查追擊問題，過程較復雜，分析清楚物體運動過程是正確解題的前提與關鍵，利用牛頓第二定律、運動學公式即可正確解題．