Question

（2010?成都二模）如圖所示，水平地面上有一輛小車，車上固定一個豎直光滑絕緣管，管的底部有一質量m₁=0.2g、電荷量q=8×10^-5C的帶正電小球，小球的直徑比管的內徑略小．在管口所在水平面MN的下方存在著垂直紙面向里、磁感應強度B₁=15T的勻強磁場，MN面的上方還存在著豎直向上、場強E=25V/m的勻強電場和垂直紙面向外、磁感應強度B₂=5T的勻強磁場，現讓小車始終保持v_x=2m/s的速度勻速向右運動，以帶電小球剛經過磁場的邊界PQ為計時的起點，測得小球在管內運動的這段時間為t=1s，g取10/s²，不計空氣阻力．
（1）求小球進入磁場B₁時的加速度a的大小．
（2）求小球離開管口時的速度v的大小．
（3）若小球離開管口后，在運動中的最高點，與靜止在絕緣支架的微小光滑水平臺上的、質量為m₂=0.2g、不帶電的小球（圖中未畫出）碰撞后成為一個整體，且碰撞導致該整體不帶電．求該整體穿過MN平面的位置到小球剛離開管口時的位置之間的距離s的大小．

Answer 1

分析：（1）由洛倫茲力與重力共同提供合力，根據牛頓第二定律，即可求解；
（2）根據速度的分解，結合矢量法則，即可求解；
（3）因電場力與重力相平衡，則洛倫茲力提供向心力，結合牛頓第二定律、運動學公式，與幾何關系，及動量守恒定律，即可求解．

解答：解：（1）小球在管中參與兩個方向的運動，即水平方向，以v_x向右勻速運動，豎直方向，因水平速度而受到豎直向上的洛倫茲力，向上勻加速運動．
所以小球進入磁場B₁時的加速度為a，由牛頓第二定律，則有：B₁qv_x-m₁g=m₁a
代入數據，解得：a=

B1qvx

m1

-g=2m/s2；
（2）小球在t=1s時，豎直分速度，v_y=at=2m/s；而水平分速度v_x=2m/s；
則小球離開管口的速度v=

v 2 x + v 2 y

=2

2

m/s；
（3）小球離開管子后，進入MN上方的復合場中，因Eq₁=2×10^-3N=m₁g；
所以小球在洛倫茲力的作用下，做勻速圓周運動，設v與MN成θ角，則tanθ=

vy

vx

=1，所以θ=45°；
其運動的軌跡如圖，由B₂qv=m₁

v2

r

；
解得：r=

m1v

qB2

=

2

m；
當小球運動到最高點時，速度水平，與小球2碰撞，水平方向動量守恒，且合成的整體不帶電，此后做平拋運動，設共同速度為v₁；
則有：m₁v=（m₁+m₂）v₁；
解得：v₁=

v

2

=

2

m/s；
設最高點距MN的距離為h，則有：h=r-rsin45°=（

2

-1）m；
設平拋運動的時間為t₁，則有：h=

1

2

g

t

2 1

解得：t₁=

2 -1 5

，
所求距離s=rcos45°+v₁t₁；
解得：s=（1+

2( 2 -1) 5

）m≈1.4m．
答：（1）小球進入磁場B₁時的加速度a的大小2m/s²．
（2）小球離開管口時的速度v的大小2

2

m/s．
（3）該整體穿過MN平面的位置到小球剛離開管口時的位置之間的距離s的大小1.4m．

點評：考查洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，理解牛頓第二定律的應用，掌握矢量的分解法則，注意幾何關系的正確建立，掌握動量守恒定律，注意其方向性．