Question

如圖所示，兩個(gè)圓形光滑細(xì)管在豎直平面內(nèi)交疊，組成“8”字形通道，在“8”字形通道底端B處連接一內(nèi)徑相同的粗糙水平直管AB．已知E處距地面的高度h=3.2m，一質(zhì)量m=1kg的小球a從A點(diǎn)以速度v₀=12m/s的速度向右進(jìn)入直管道，到達(dá)B點(diǎn)后沿“8”字形軌道向上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)恰好與軌道無(wú)作用力，直接進(jìn)入DE管（DE管光滑），并與原來(lái)靜止于E處的質(zhì)量為M=4kg的小球b發(fā)生正碰（ab均可視為質(zhì)點(diǎn)）．已知碰撞后a球沿原路返回，速度大小為碰撞前速度大小的

1

3

，而b球從E點(diǎn)水平拋出，其水平射程s=0.8m，（g取10m/s²）
（1）求碰后b球的速度大小？
（2）求“8”字形管道上下兩圓的半徑r和R．
（3）若小球a在管道AB中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力為定值，請(qǐng)判斷a球返回到BA管道中時(shí)能否從A端穿出？

Answer 1

（1）b球離開(kāi)DE后做平拋運(yùn)動(dòng)：
h=

gt2

2

s=v_bt
解得 v_b=1m/s
故碰后b球的速度大小為：v_b=1m/s．
（2）ab碰撞過(guò)程，動(dòng)量守恒，以水平向右為正方向：
mva=-m

va

3

+Mvb
V_a=3m/s
碰前a在D處恰好與軌道無(wú)作用力：
mg=

m v 2a

r

r=0.9m
R=

h-2r

2

=0.7m
故上半圓半徑r=0.9m，下半圓半徑R=0.7m．
（3）小球從B到D，機(jī)械能守恒：

1

2

m

v

2B

=

1

2

m

v

2a

+mgh
解得：

1

2

m

v

2B

=36.5J
從A到B過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
-Wf=

1

2

m

v

2B

-

1

2

m

v

20

解得：W_f=35.5J
從D到B，機(jī)械能守恒有：

1

2

m(

v a

3

)2+mgh=

1

2

m

v

′2B

解得：

1

2

m

v

′2B

=32.5J＜W_f
故，a球返回到BA管道中時(shí)，不能從A端穿出．