Question

如圖所示，在游樂節目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水平的浮臺上．選手可視為質量m=60kg的質點，選手抓住繩由靜止開始擺動，此時繩與豎直方向夾角α=53⁰，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m．不計空氣阻力和繩的質量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深．g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6求：
（1）選手擺到最低點時對繩的拉力F的大小
（2）若繩長l=2m，選手擺到最高點時松手落入水中．設水對選手的平均浮力F₁=800N，平均阻力F₂=700N，求選手落入水中的深度d
（3）若選手擺到最低點時松手，則繩長l為多長時，落點距岸邊最遠？請通過推算進行說明．

Answer 1

分析：（1）選手擺到最低點的過程中，繩子拉力不做功，只有重力做功，由機械能守恒求出選手擺到最低點時的速度v．由牛頓第二定律求出繩的拉力F的大小．
（2）若繩長l=2m，選手擺到最高點時離水面的高度為H-lcos53°，從選手開始下落到速度減為零的過程中，重力做正功，浮力和阻力做負功，對全過程運用動能定理求解選手落入水中的深度d．
（3）選手擺到最低點時松手后做平拋運動，水平方向做勻速運動，豎直方向做自由落體運動，由運動學公式得到落點離岸邊的距離與l的關系，由數學知識求解繩長l為多長時，落點距岸邊最遠．

解答：解：
（1）選手擺到最低點的過程中，由機械能守恒得
         mgl（1-cosα）=

1

2

mv2              ①
            選手經過最低點時  F-mg=m

v2

l

    ②
①②兩式聯立，解得：
        F=（3-2cosα）mg=1080N
（2）對選手開始下落到在水中速度為零整個過程進行分析，重力、浮力和阻力分別做功，設進入水的深度為d，由動能定理有：
      mg（H-lcosα+d）-（F₁+F₂）d=0 代入數據解得：d=1.2m
（3）選手從最低點開始做平拋運動
水平方向上有：x=vt
豎直方向上有：H-l=

1

2

gt2
以上兩式聯立解得：x=2

l(1-cosα)(H-l)

=2

0.4l(H-l)

當l=

H

2

時，x有最大值，解得l=1.5m．
答：（1）選手擺到最低點時對繩的拉力F的大小是1080N；
        （2）選手落入水中的深度d為1.2m．
        （3）若選手擺到最低點時松手，繩長l為1.5m時，落點距岸邊最遠．

點評：本題考查綜合應用機械能守恒定律、牛頓第二定律和平拋運動知識的能力．第（3）問要根據數學知識求解極值．