Question

【題目】如圖所示的軌道由半徑為R的 光滑圓弧軌道AB、豎直臺階BC、足夠長的光滑水平直軌道CD組成．小車的質量為M，緊靠臺階BC且上水平表面與B點等高．一質量為m的可視為質點的滑塊自圓弧頂端A點由靜止下滑，滑過圓弧的最低點B之后滑到小車上．已知M=4m，小車的上表面的右側固定一根輕彈簧，彈簧的自由端在Q點，小車的上表面左端點P與Q點之間是粗糙的，滑塊與PQ之間表面的動摩擦因數為μ，Q點右側表面是光滑的．求：

（1）滑塊滑到B點的瞬間對圓弧軌道的壓力大小．
（2）要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有滑離小車，則小車上PQ之間的距離應在什么范圍內？（滑塊與彈簧的相互作用始終在彈簧的彈性范圍內）

Answer 1

【答案】
（1）解：設滑塊滑到B點的速度大小為v，到B點時軌道對滑塊的支持力為N，由機械能守恒定律有

…①

滑塊滑到B點時，由牛頓第二定律有：

…②

聯立①②式解得：N=3mg…③

根據牛頓第三定律，滑塊在B點對軌道的壓力大小為：N′=3mg

答：滑塊滑到B點的瞬間對圓弧軌道的壓力大小3mg．

（2）解：滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車必然具有共同的末速度設為u，滑塊與小車組成的系統動量守恒，有mv=（M+m）u…④

若小車PQ之間的距離L足夠大，則滑塊可能不與彈簧接觸就已經與小車相對靜止，設滑塊恰好滑到Q點，由功能關系有 …⑤

聯立①④⑤式解得： …⑥

若小車PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點右側是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設滑塊恰好回到小車的左端P點處，由功能關系有

…⑦

聯立①④⑦式解得 …⑧

綜上所述并由⑥⑧式可知，要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有離開小車，PQ之間的距離L應滿足的范圍是： …⑨

答：PQ之間的距離L應滿足的范圍是 ．

【解析】（1）根據機械能守恒定律求出滑塊到達B點的速度，再根據牛頓第二定律求出軌道對滑塊的支持力，從而求出滑塊對圓弧軌道的壓力大小．（2）滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車必然具有共同的末速度，根據動量守恒定律求出共同的速度，根據能量守恒求出滑塊與彈簧恰好不碰撞時PQ的長度，該長度為最大長度．小車PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點右側是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設滑塊恰好回到小車的左端P點處，根據動量守恒和能量守恒求出L的最小值．從而得出L的范圍．

【考點精析】通過靈活運用機械能守恒及其條件和動量守恒定律，掌握在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動能和重力勢能（及彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總量保持不變；動量守恒定律成立的條件：系統不受外力或系統所受外力的合力為零；系統所受的外力的合力雖不為零，但系統外力比內力小得多；系統所受外力的合力雖不為零，但在某個方向上的分量為零，則在該方向上系統的總動量的分量保持不變即可以解答此題．