Question

如圖所示，K是粒子發生器，D₁、D₂、D₃是三塊擋板，通過傳感器可控制它們定時開啟和關閉，D₁、D₂的間距為L，D₂、D₃的間距為

L

2

．在以O為原點的直角坐標系Oxy中有一磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，y軸和直線MN是它的左、右邊界，且MN平行于y軸．現開啟擋板D₁、D₃，粒子發生器僅在t=0時刻沿x軸正方向發射各種速率的粒子，D₂僅在t=nT（n=0，1，2…T為已知量）時刻開啟，在t=5T時刻，再關閉擋板D₃，使粒子無法進入磁場區域．已知擋板的厚度不計，粒子帶正電，不計粒子的重力，不計粒子間的相互作用，整個裝置都放在真空中．
（1）求能夠進入磁場區域的粒子的速度大小；
（2）已知從原點O進入磁場中速度最小的粒子經過坐標為（0，2cm）的P點，應將磁場邊界MN在Oxy平面內如何平移，才能使從原點O進入磁場中速度最大的粒子經過坐標為（3

3

cm，6cm）的Q點？
（3）磁場邊界MN平移后，進入磁場中速度最大的粒子經過Q點．如果L=6cm，求速度最大的粒子從D₁運動到Q點的時間．

Answer 1

（1）設能夠進入磁場區域的粒子的速度大小為v_m，由題意，粒子由D₁到D₂經歷的時間為：△t1=mT=

L

vm

（m=1、2…）
粒子由D₂到D₃經歷的時間為：△t2=

L

2vm

=

mT

2

t=5T時刻，擋板D₃關閉，粒子無法進入磁場，故有：
△t=△t₁+△t₂≤5T
聯立以上三式解得：m=1、2、3
所以，能夠進入磁場區域的粒子的速度為：
vm=

L

mT

（m=1、2、3）
（2）進入磁場中速度最小的粒子經過坐標為（0cm，2cm）的P點，所以R=1cm．粒子在磁場中勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力為：qvB=m

v2

R

所以，粒子圓周運動的半徑為：R=

mv

Bq

由前可知，進入磁場中粒子的最大速度是最小速度的3倍，故：R′=3R=3cm
由圖知：3cosθ+FH=3

3

FH=（6-3+3sinθ）tanθ　　
解得：θ=30⁰ FH=

3 3

2

cm
因此，只要將磁場區域的邊界MN平行左移

3 3

2

cm到F點，速度最大的粒子在F點穿出磁場，將沿圓軌跡的切線方向到達Q點．
（3）粒子在K到O之間運動時：v=

L

T

得：t1=

3

2

T
粒子 磁場中的運動：t2=

πR

3v

=

πT

6

粒子從F到Q點做勻速直線運動，時間：t3=

FH

sinθ?v

=

3

2

T
解得：t=t1+t2+t3=(

3

2

+

π

6

+

3

2

)T
答：（1）能夠進入磁場區域的粒子的速度大小為vm=

L

mT

（m=1、2、3）；
（2）只要將磁場區域的邊界MN平行左移

3 3

2

cm到F點，速度最大的粒子在F點穿出磁場，將沿圓軌跡的切線方向到達Q點；
（3）磁場邊界MN平移后，進入磁場中速度最大的粒子經過Q點．如果L=6cm，求速度最大的粒子從D₁運動到Q點的時間為(

3

2

+

π

6

+

3

2

)T