Question

【題目】小華同學為了探究彈性球與其他物體碰撞的情況，他先從網上獲取如下信息：通常用恢復系數e表示兩物體一維碰撞機械能損失的情況.它等于碰撞后兩球的分離速度，與碰撞前兩球的接近速度之比，即： 恢復系數由碰撞兩物體的材料性質決定.

小華的探究實驗如下：讓質量為10.75g，直徑為26mm的塑料彈性球從80cm高處自由下落，碰到地面的瓷磚后彈起；再下落，再彈起；再下落，再彈起；……，當塑料彈性球與瓷磚碰撞10次后，還能彈起8cm. 如果不計空氣阻力，并假定彈性球始終在同一豎直線上運動.

(1)請根據以上實驗數據求彈性球與瓷磚碰撞的恢復系數e.

(2)請用e表示出彈性球每次碰撞過程中機械能的損失與碰撞前的機械能之比.

Answer 1

【答案】(1) (2) 1-e2

【解析】

(1)以塑料彈性球與地球為系統，由于地球的質量巨大，所以，碰前、碰后地球的速度都可認為是零。這樣，第一次碰撞的恢復系數即為

假設塑料彈性球的質量為m，第一次碰撞的前后，下落高度為h1，彈起高度為h2，并以豎直向下為正方向。

根據機械能守恒定律，有：

并注意到正方向的規定，有：

第二次的砰撞的前后，乒乓球下落高度為h2，彈起高度為h3。同理有：

同理，第三次、第四次……

第十次碰撞的前后，有：

將十次碰撞的恢復系數的表達式相乘，有：

代入數據，有：

(2)由每次碰撞的表達式：

可推導出

由于不計空氣阻力，所以有：

因此，1-e2表示每次破撞過程中，機械能損失的比例.