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如圖，已知二面角α-MN-β的大小為60°，菱形ABCD在面β內，A、B兩點在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中點，DO⊥面α，垂足為O．
（Ⅰ）證明：AB⊥平面ODE；
（Ⅱ）求異面直線BC與OD所成角的余弦值．

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如圖，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M為AD中點，求三棱錐A-MBC的體積．

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如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=

2

．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角B-AD-E的大小．

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如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，過A₁、C、D三點的平面記為α，BB₁與α的交點為Q．
（Ⅰ）證明：Q為BB₁的中點；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比；
（Ⅲ）若AA₁=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大�。�

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四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）證明：四邊形EFGH是矩形．

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如圖，四棱錐P-ABCD，底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=

π

3

，M為BC上的一點，且BM=

1

2

，MP⊥AP．
（Ⅰ）求PO的長；
（Ⅱ）求二面角A-PM-C的正弦值．

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如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設AP=1，AD=

3

，三棱錐P-ABD的體積V=

3

4

，求A到平面PBC的距離．

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如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面BB₁C₁C為菱形，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）證明：AC=AB₁；
（Ⅱ）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，AB=BC，求二面角A-A₁B₁-C₁的余弦值．

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如圖1，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如圖2折疊；折痕EF∥DC，其中點E，F分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF．
（1）證明：CF⊥平面MDF；
（2）求三棱錐M-CDE的體積．