Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，過A₁、C、D三點的平面記為α，BB₁與α的交點為Q．
（Ⅰ）證明：Q為BB₁的中點；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比；
（Ⅲ）若AA₁=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,用空間向量求平面間的夾角

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明平面QBC∥平面A₁D₁DA，可得△QBC∽△A₁AD，即可證明Q為BB₁的中點；
（Ⅱ）設BC=a，則AD=2a，則VQ-AA1D=

1

3

•

1

2

•2a•h•d=

1

3

ahd，V_Q-ABCD=

1

3

•

a+2a

2

•d•

h

2

=

1

4

ahd，利用V_棱柱=

3

2

ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積之比；
（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A₁E，則DE⊥平面AEA₁，DE⊥A₁E，可得∠AEA₁為平面α與底面ABCD所成二面角，求出S_△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA₁=

AA1

AE

=1，即可求平面α與底面ABCD所成二面角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，
∴平面QBC∥平面A₁D₁DA，
∴平面A₁CD與面QBC、平面A₁D₁DA的交線平行，∴QC∥A₁D
∴△QBC∽△A₁AD，
∴

BQ

BB1

=

BQ

AA1

=

BC

AD

=

1

2

，
∴Q為BB₁的中點；
（Ⅱ）解：連接QA，QD，設AA₁=h，梯形ABCD的高為d，四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積為V₁，V₂，
設BC=a，則AD=2a，∴VQ-AA1D=

1

3

•

1

2

•2a•h•d=

1

3

ahd，V_Q-ABCD=

1

3

•

a+2a

2

•d•

h

2

=

1

4

ahd，
∴V₂=

7

12

ahd，
∵V_棱柱=

3

2

ahd，
∴V₁=

11

12

ahd，
∴四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積之比

11

7

；
（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A₁E，則DE⊥平面AEA₁，∴DE⊥A₁E，
∴∠AEA₁為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，
∵BC∥AD，AD=2BC，
∴S_△ADC=2S_△ABC，
∵梯形ABCD的面積為6，DC=2，
∴S_△ADC=4，AE=4，
∴tan∠AEA₁=

AA1

AE

=1，
∴∠AEA₁=

π

4

，
∴平面α與底面ABCD所成二面角的大小為

π

4

．

點評：本題考查面面平行的性質，考查體積的計算，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．