【題目】已知函數
．
討論函數
的極值點的個數；
若函數有兩個極值點
，
，證明：
．
【答案】(1)見解析 (2)見解析
【解析】
先求出函數的導函數，通過討論a的范圍確定導函數的符號，從而得出函數的單調區間，進而判斷函數極值點個數；
由可知當且僅當
時
有極小值
和極大值
，且，是方程的兩個正根，則
，
根據函數
表示出
，令
，通過對
求導即可證明結論．
解：
函數
，
， 
，
當
時，
，，
當
時，
，單調遞減；
當
時，
，單調遞增；
當
時，有極小值；
當
時，
，故
，
在
上單調遞減，故此時無極值；
當
時，
，方程
有兩個不等的正根，．
可得
，
．
則當
及
時，
，單調遞減；
當
時， ；單調遞增；
在
處有極小值，在
處有極大值．
綜上所述：當時，有1個極值點；
當時，沒有極值點；
當時，有2個極值點．
由可知當且僅當時有極小值點
和極大值點，且，是方程的兩個正根，
則，
．
；
令，
；
，
在
上單調遞減，故
，
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1,在正方形
中，
是
的中點，點
在線段
上,且
.若將
分別沿
折起，使
兩點重合于點
,如圖2.
圖1 圖2
(1)求證:
平面
；
(2)求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
(α為參數)經過伸縮變換
得到曲線C2．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求C2的普通方程；
(2)設曲線C3的極坐標方程為
，且曲線C3與曲線C2相交于M，N兩點，點P(1，0)，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設有二元關系
，已知曲線
.
（1）若
時，正方形
的四個頂點均在曲線
上，求正方形的面積；
（2）設曲線與
軸的交點是
，拋物線
與
軸的交點是
，直線
與曲線
交于
，直線
與曲線交于
，求證直線
過定點，并求該定點的坐標；
（3）設曲線與軸的交點是
，
，可知動點
在某確定的曲線
上運動，曲線上與上述曲線在
時共有4個交點，其坐標分別是
、
、
、
，集合
的所有非空子集設為
，將
中的所有元素相加（若只有一個元素，則和是其自身）得到255個數
，求所有正整數
的值，使得
是一個與變數
及變數
均無關的常數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某社區
名居民參加
年國慶活動，他們的年齡在
歲至
歲之間，將年齡按
、
、
、
、
分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求
的值，并求該社區參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個分組取中間值作代表）；
（2）現從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取
人，再從這人中隨機抽取
人進行座談，用
表示參與座談的居民的年齡在的人數，求的分布列和數學期望；
（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取
名進行調查，其中有
名市民的年齡在
的概率為
，當
最大時，求的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，圓形紙片的圓心為
，半徑為
，該紙片上的正方形
的中心為，
、
、
、
為圓上點，
，
，
，
分別是以
，
，
，
為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，，使得、、、重合，得到四棱錐.當該四棱錐體積取得最大值時，正方形的邊長為______
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點A（0，1），拋物線C：y2＝ax（a＞0）的焦點為F，連接FA，與拋物線C相交于點M，延長FA，與拋物線C的準線相交于點N，若|FM|：|MN|＝1：2，則實數a的值為_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生對函數
的性質進行研究，得出如下的結論：
函數在
上單調遞減，在
上單調遞增；
點
是函數圖象的一個對稱中心；
函數圖象關于直線
對稱；
存在常數
，使
對一切實數x均成立，
其中正確命題的個數是( )
A.1B.2C.3D.4
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