Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，是邊的中點.平面平面，，.線段上的點滿足.

（1）證明：面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）連接交于，連接，根據相似三角形和比例關系，證得，再利用線面平行的判定定理，即可證得平面；

（2）以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，得到向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）證明：連接交于，連接，

因為是菱形，且是的中點，所以，且，

又由已知，于是，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）作的中點，連接，則，知在平面內.

又由題知，，于是，

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，故，，

在菱形中，，所以，

以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，不妨設，

因為，，

所以為正三角形，，

于是，，，，

所以，.

由，且，可得，故，

由，知平面，

所以是平面的一個法向量，

則，

故直線與平面所成角的正弦值為.