Question

【題目】如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點在平面上的射影恰好在上.

（Ⅰ）當時,證明:平面平面；

（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】

試題

（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，則，平面，，結合勾股定理可得，則平面，平面平面.

（Ⅱ）由幾何關系，以為軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面的法向量，平面的法向量.計算可得平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.

試題解析：

（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，，

又，平面，

利用勾股定理得，同理可得.

在中，

平面，又平面，

所以平面平面

（Ⅱ）連結，，，

，又四邊形為長方形，.

取中點為，得∥，連結，

其中，，

由以上證明可知互相垂直，不妨以為軸建立空間直角坐標系.，

，

設是平面的法向量，

則有即，

令得

設是平面的法向量，

則有即

令得.

則

所以平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.