【題目】已知橢圓
：
，其中
，點
是橢圓的右頂點，射線
：
與橢圓的交點為
.
（1）求點的坐標；
（2）設橢圓的長半軸、短半軸的長分別為
、
，當
的值在區間
中變化時，求
的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，以為焦點，
為頂點且開口方向向左的拋物線過點，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）聯立方程組
，再求解即可；
（2）由橢圓的幾何性質可得
，
，再解不等式
即可；
（3）先求出拋物線的方程為
，由點
在拋物線上可得
，再令
，則
①，其中
，則問題可轉化為拋物線①在區間
上與橢圓有一個交點的充要條件是：
，再求解即可.
解：（1）解方程組，
得
，
所以；
（2）因為
，
，所以橢圓的焦點在
軸上，，，
由條件
，得：，所以；
（3）由題意得：
，且拋物線焦點
與頂點
的距離為
，
設拋物線方程為：
，那么
，
故拋物線的方程為，
因為點在拋物線上，所以，
，
設，因為，所以，
令①，其中，
拋物線①開口向上，其對稱軸
，
拋物線①在區間上與橢圓有一個交點的充要條件是：，
即
，所以
，
所以
的取值范圍是.
同步練習強化拓展系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
過點
，其參數方程為
（
為參數， 
），以
為極點， 
軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
的普通方程和曲線
的直角坐標方程；
（2）求已知曲線
和曲線
交于
兩點，且
，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市從2014年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數據中分別隨機抽取100個，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分組，得到頻率分布直方圖如下：
假設甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立．
（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中的
的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為
，
，試比較與的大小；（只需寫出結論）
（2）估計在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱且另一個不高于20箱的概率；
（3）設
表示在未來3天內甲種酸奶的日銷售量不高于20箱的天數，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求的數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,五邊形
中,四邊形
為長方形,
為邊長為
的正三角形,將沿
折起,使得點
在平面上的射影恰好在
上.
（Ⅰ）當
時,證明:平面
平面
；
（Ⅱ）若
,求平面與平面
所成二面角的余弦值的絕對值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
，
，
，
，
分別為
，
邊的中點，以
為折痕把
折起，使點
到達點
的位置，且
..
（Ⅰ）證明：
平面
；
（Ⅱ）設
為線段
上動點，求直線
與平面
所成角的正弦值的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，把長為6，寬為3的矩形折成正三棱柱
，三棱柱的高度為3，矩形的對角線和三棱柱的側棱
、
的交點記為
.
（1）在三棱柱中，若過
三點做一平面，求截得的幾何體
的表面積；
（2）求三棱柱中異面直線
與
所成角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線方程
，
為焦點，
為拋物線準線上一點，
為線段
與拋物線的交點，定義:
.
（1）當
時，求
；
（2）證明:存在常數
，使得
.
（3）
為拋物線準線上三點，且
，判斷
與
的關系.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正方形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，點
在線段
上.
（Ⅰ）若為的中點，求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）證明：存在點，使得
平面
，并求
的值.
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