Question

【題目】已知函數 ．
（1）求證：函數f（x）在實數集R上為增函數；
（2）設g（x）=log2f（x），若關于x的方程g（x）=a有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意知， ，

設x1，x2是R上的任意兩個數，且x1＜x2，

則

= ，

因為x1＜x2，所以 ，

即f（x1）＜f（x2），

所以f（x）在R上為增函數

（2）解：因為關于x的方程g（x）=a有解，

所以實數a的取值范圍為函數y=g（x）的值域；

因為 ，

因為2x+1＞1，所以 ，

即0＜f（x）＜2

所以g（x）=log2f（x）值域為（﹣∞，1），

即實數a的取值范圍為（﹣∞，1）

【解析】（1）先化簡解析式，再利用函數單調性的定義：取值、作差、變形、定號、下結論，證明函數的單調性；（2）將方程有解轉化為求出函數y=g（x）的值域，由指數函數的性質求出f（x）的范圍，由對數函數的性質求出g（x）的值域，即可求出實數a的取值范圍．
【考點精析】利用奇偶性與單調性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．