Question

【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2， =λ ．

（1）若λ=1，求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小為60°，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，4，2），

當λ=1時，D為BC的中點，∴D（1，2，0），

=（1，﹣2，2）， =（0，4，0）， =（1，2，﹣2），

設平面A1C1D的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取x=2，

得 =（2，0，1），

又cos＜ ＞= = = ，

∴直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為 ．）

（2）解：∵ = ，∴D（ ， ，0），

∴ =（0，4，0）， =（ ， ，﹣2），

設平面A1C1D的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（λ+1，0，1）．

又平面A1B1C1的一個法向量為 =（0，0，1），

∵二面角B1﹣A1C1﹣D的大小為60°，

∴|cos＜ ＞|=| |= = ，

解得 或 （不合題意，舍去），

∴實數λ的值為 ．

【解析】（1）分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值．（2）求出平面A1C1D的法向量和平面A1B1C1的一個法向量，利用向量法能求出實數λ的值．
【考點精析】利用空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．