Question

【題目】化簡： =（用m、n表示）．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設f（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+3（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n﹣1…①，
則f（x）中含xm 項的系數為 +2 +3 +…+n
∴（1+x）f（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+3（1+x）m+3+…+n（1+x）m+n…②，
①﹣②可得﹣xf（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+（1+x）m+2+…+（1+x）m+n﹣1﹣n（1+x）m+n ，
= ﹣n（1+x）m+n ，
∴x2f（x）=（1+x）m﹣（1+x）m+n+nx（1+x）m+n ，
故f（x）中含xm項的系數即 x2f（x）中含xm+2項的系數，
而x2f（x）中含xm+2項的系數為
﹣ +n =﹣ +
=
= ，
∴Cmm+2Cmm+1+3Cmm+2+…+nCmm+n﹣1= Cm+1m+n（m，n∈N*）；
∴ = ．
所以答案是： ．
【考點精析】本題主要考查了組合與組合數的公式的相關知識點，需要掌握從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合才能正確解答此題．