Question

若數列{a_n}的項構成的新數列{a_n+1-Ka_n}是公比為l的等比數列，則相應的數列{a_n+1-1a_n}是公比為k的等比數列，運用此性質，可以較為簡潔的求出一類遞推數列的通項公式，并簡稱此法為雙等比數列法．已知數列{a_n}中，a1=

3

5

，a2=

31

100

，且an+1=

1

10

an+

1

2n+1

．
（1）試利用雙等比數列法求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用an+1-

1

10

an=

1

2n+1

，判斷{an+1-

1

10

an}是公比為

1

2

的等比數列，求出an+1-

1

2

an=(

1

10

)n+1，然后求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用拆項法，把通項分解為兩個等比數列，然后求數列{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）有條件知：an+1-

1

10

an=

1

2n+1

，①
所以{an+1-

1

10

an}是公比為

1

2

的等比數列，
故{an+1-

1

2

an}是以首項為a2-

1

2

a1=

1

100

，公比為

1

10

的等比數列，
所以：an+1-

1

2

an=(

1

10

)n+1，②
由①、②得an=

5

2

(

1

2n+1

-

1

10n+1

)．
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
═

5

2

(

1

4

1

102

)+

5

2

(

1

23

-

1

103

)+…+ 

5

2

(

1

2n+1

-

1

10n+1

)
=

5

2

[(

1

4

+

1

23

+…+

1

2n+1

)-(

1

102

+

1

103

+…+

1

10n+1

)]
=

11

9

+

1

36

•

1

10n

-

5

4

•

1

2n

．

點評：本題主要考查等比數列的判斷，數列求和的拆項法、等比數列的前n項和公式．考查學生的運算能力．