Question

數列{b_n}定義如下：對于正整數m，b_m是使不等式a_n≥m成立中的所有n中的最小值
（Ⅰ）若正項數列{a_n}前n和為S_n，

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項，求a_n及b_n通項；
（Ⅱ）若數列{a_n}通項為a_n=pn+q（n∈N^*，p＞0），是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*），如果存在，求出p和q的取值范圍，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題中已知條件結合數列的基本性質便可求出數列an的通項公式，然后利用題中關于bn的定義便可求出數列分別討論n為奇數和偶數時bn的表達式便可求得bn的通項公式；
（Ⅱ）存在，根據題中條件先求出p、q與m的關系可知3p-1＞0（或3p-1＜0）不符合條件，然后3p-1=0便可求出p值，進而求得q的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由于

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項，∴Sn=

1

4

(an+1)2
當n=1時，S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1，（2分）
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)-

1

4

(an-1+1)，由a_n＞0，化簡有a_n-a_n-1=2
所以{a_n}是等差數列，a_n=2n-1，檢驗當n=1時也適合，即a_n=2n-1（5分）
對于正整數，由a_n≥m，得n≥

m+1

2

．
根據b_m的定義可知：當m=2k-1時，b_m=k（k∈N^*）；當m=2k時，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴bn=

n+1 2 ，n是奇數 n 2 +1，n是偶數

（9分）
（Ⅱ）假設存在p和q滿足條件，由不等式pn+q≥m及p＞0，得：n≥

m-q

p

．
∵b_m=3m+2（m∈N^*），根據b_m的定義可知，對于任意的正整數m 都有3m+1＜

m-q

p

≤3m+2，即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q對任意的正整數m都成立．
當3p-1＞0（或3p-1＜0）時，得m＜-

p+q

3p-1

（或m≤-

2p+q

3p-1

），
這與上述結論矛盾！（13分）
當3p-1=0，即p=

1

3

時，得-

2

3

-q≤0＜-

1

3

-q，解得-

2

3

≤q＜-

1

3

．
∴存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）；
p和q的取值范圍分別是p=

1

3

，-

2

3

≤q＜-

1

3

．（16分）

點評：本題主要考查了考查了數列的遞推公式，學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，是各地高考的熱點，屬于中檔題．