Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|= |PQ|． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點Q的坐標為（x0，4），把點Q的坐標代入拋物線C：y2=2px（p＞0），

可得x0= ，∵點P（0，4），∴|PQ|= ．

又|QF|=x0+ = + ，|QF|= |PQ|，

∴ + = × ，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．

故C的方程為 y2=4x．

（Ⅱ）由題意可得，直線l和坐標軸不垂直，y2=4x的焦點F（1，0），

設l的方程為 x=my+1（m≠0），

代入拋物線方程可得y2﹣4my﹣4=0，顯然判別式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4．

∴AB的中點坐標為D（2m2+1，2m），弦長|AB|= |y1﹣y2|= =4（m2+1）．

又直線l′的斜率為﹣m，∴直線l′的方程為 x=﹣ y+2m2+3．

過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，

把線l′的方程代入拋物線方程可得 y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4= ，y3y4=﹣4（2m2+3）．

故線段MN的中點E的坐標為（ +2m2+3， ），∴|MN|= |y3﹣y4|= ，

∵MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|= |MN|，

∴ +DE2= MN2，

∴4（m21）2 + + = × ，化簡可得 m2﹣1=0，

∴m=±1，∴直線l的方程為 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0

【解析】（Ⅰ）設點Q的坐標為（x0，4），把點Q的坐標代入拋物線C的方程，求得x0= ，根據|QF|= |PQ|求得 p的值，可得C的方程．（Ⅱ）設l的方程為 x=my+1 （m≠0），代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、中點公式、弦長公式求得弦長|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、弦長公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程．