Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，垂足為M，以下四個結論中正確的個數為（　　）

①AM垂直于平面CB1D1；

②直線AM與BB1所成的角為45°；

③AM的延長線過點C1；

④直線AM與平面A1B1C1D1所成的角為60°

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據AM⊥平面A1BD，平面A1BD∥CB1D1，判斷AM⊥平面CB1D1；

②建立空間直角坐標系，利用坐標表示向量，求出平面BDA1的法向量，求得與的夾角，判斷直線AM與BB1所成的角不是45°；

③求出，判斷它與平面CB1D1的法向量共線，得出AM的延長線過點C1；

④求出AC1與平面A1B1C1D1所成的角，即為直線AM與平面A1B1C1D1所成的角．

對于①，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，

且平面A1BD∥CB1D1，∴AM⊥平面CB1D1，①正確；

對于②，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則A（0，0，1），B（1，0，1），C（1，1，1），D（0，1，1），

A1（0，0，0），∴=（﹣1，1，0），=（1，0，1），

設平面BDA1的法向量為=（x，y，z），

則，即，令x=1，則y=1，z=﹣1，∴=（1，1，﹣1），

=（0，0，1），

∴cos＜，＞==﹣，

∴與的夾角不是45°且不是135°，

又與共線，∴直線AM與BB1所成的角不是45°，②錯誤；

對于③，=（1，1，﹣1），與平面CB1D1的法向量共線，

∴與共線，即AM的延長線過點C1，③正確；

④與共線，且tan∠AC1A1==，

∴AC1與平面A1B1C1D1所成的角是arctan，

即直線AM與平面A1B1C1D1所成的角不是60°，④錯誤；

綜上，正確的命題序號是①③，共2個．

故選：B．