Question

【題目】已知函數，且在處的切線與平行．

求的單調區間；

若存在區間，使在上的值域是，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

【解析】

對函數求導，由求出a的值，然后將a的值代入導數，求出極值點，討論導數的正負，即可求出函數的單調區間；由函數在區間上單調遞增得到，將問題轉化為關于x的方程在區間上有兩個解，利用參變量分離法得出在區間上有兩個解，構造函數，利用導數研究函數的單調性與極值，作出函數在區間上的圖象，即可求出b的取值范圍．

由，得，

由，得．

．

則，

由，得，由，得．

的單調減區間為，增區間為；

由知，，且函數在區間上單調遞增，若存在區間，使在上的值域是，

則有，則，得，

所以，關于x的方程在區間上有兩解，

由，得，構造函數，其中，

所以，直線與函數的圖象在區間上有兩個交點，

，

構造函數，則，

所以，函數在區間上單調遞增，由于，

當時，，即；當時，，即．

所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，函數在處取得最小值，即，

由于，，所以，，

結合圖象可知，當時，直線與函數在區間上的圖象有兩個交點，

因此，實數b的取值范圍是．