Question

函數f（x）=ax³+3x²+3x（a≠0）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若f（x）在區間（1，2）是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，通過導數為0，利用二次函數的根，通過a的范圍討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當a＞0，x＞0時，f（x）在區間（1，2）是增函數，當a＜0時，f（x）在區間（1，2）是增函數，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=ax³+3x²+3x，
∴f′（x）=3ax²+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax²+6x+3=0，則△=36（1-a），
①若a≥1時，則△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函數；
②因為a≠0，∴當a≤1，△＞0，f′（x）=0方程有兩個根，x₁=

-1+ 1-a

a

，x₂=

-1- 1-a

a

，
當0＜a＜1時，則當x∈（-∞，x₂）或（x₁，+∞）時，f′（x）＞0，故函數在（-∞，x₂）或（x₁，+∞）是增函數；在（x₂，x₁）是減函數；
當a＜0時，則當x∈（-∞，x₁）或（x₂，+∞），f′（x）＜0，故函數在（-∞，x₁）或（x₂，+∞）是減函數；在（x₁，x₂）是增函數；

（Ⅱ）當a＞0，x＞0時，f′（x）=3ax²+6x+3＞0 故a＞0時，f（x）在區間（1，2）是增函數，
當a＜0時，f（x）在區間（1，2）是增函數，
當且僅當：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得-

5

4

≤a＜0，
a的取值范圍[-

5

4

，0）∪（0，+∞）．

點評：本題考查函數的導數的應用，判斷函數的單調性以及已知單調性求解函數中的變量的范圍，考查分類討論思想的應用．