Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=

2

，AD=2，PA=PD=

5

，E，F分別是棱AD，PC的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角P-AD-B為60°，
（i）證明平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間角,空間向量及應用,立體幾何

分析：（Ⅰ）要證明EF∥平面PAB，可以先證明平面EFH∥平面PAB，而要證明面面平行則可用面面平行的判定定理來證；
（Ⅱ）（i）要證明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需證PB⊥平面ABCD即可；
（ii）由（i）知，BD，BA，BP兩兩垂直，建立空間直角坐標系B-DAP，得到直線EF的方向向量與平面PBC法向量，其夾角的余弦值的絕對值即為所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連結AC，AC∩BD=H，
∵底面ABCD是平行四邊形，∴H為BD中點，
∵E是棱AD的中點．∴在△ABD中，EH∥AB，
又∵AB?平面PAB，EH?平面PAD，∴EH∥平面PAB．
同理可證，FH∥平面PAB．
又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，
∵EF?平面EFH，∴EF∥平面PAB；


（Ⅱ）（i）如圖，連結PE，BE．
∵BA=BD=

2

，AD=2，PA=PD=

5

，∴BE=1，PE=2．
又∵E為AD的中點，∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴∠PEB即為二面角P-AD-B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=

3

．
∵△PBD中，BD²+PB²=PD²，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，
∴PB⊥平面ABD，
∵PB?平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；
（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，
∵BA=BD=

2

，AD=2，∴BD⊥BA，
∴BD，BA，BP兩兩垂直，
以B為坐標原點，分別以BD，BA，BP為X，Y，Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系B-DAP，
則有A（0，

2

，0），B（0，0，0），C（

2

，-

2

，0），D（

2

，0，0），P（0，0，

3

），
∴

BC

=（

2

，-

2

，0），

BP

=（0，0，

3

），
設平面PBC的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

n • BC =0 n • BP =0

，∴

2 x- 2 y=0 3 z=0

，令x=1，則y=1，z=0，
故

n

=（1，1，0），
∵E，F分別是棱AD，PC的中點，
∴E（

2

2

，

2

2

，0），F（

2

2

，-

2

2

，

3

2

），
∴

EF

=（0，-

2

，

3

2

），
∴cos＜ 

n

 ， 

EF

 ＞=

n • EF

| n || EF |

=

- 2

2 × 11 2

=-

2 11

11

，
即直線EF與平面PBC所成角的正弦值為

2 11

11

．

點評：本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理以及線面角大小的求法，要求熟練掌握相關的判定定理．