Question

【題目】已知直線y=﹣x+1與橢圓 + =1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線l：x﹣2y=0上，求此橢圓的離心率．

Answer 1

【答案】解：聯立直線y=﹣x+1與直線l：x﹣2y=0，得x= ，y= ， ∴直線y=﹣x+1與x﹣2y=0的交點為M（ ， ），∴線段AB的中點為（ ， ），
設y=﹣x+1與 + =1的交點分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則x1+x2= ，y1+y2= ，
分別把A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）代入橢圓 + =1（a＞b＞0），
兩式相減，得﹣ =﹣ ，
∴a2=2b2 ， ∴a= b= c，∴e=
【解析】聯立直線y=﹣x+1與直線l：x﹣2y=0得到線段AB的中點為（ ， ），設y=﹣x+1與 + =1的交點分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用點差法能求出橢圓的離心率．