Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上． （Ⅰ）求異面直線D1E與A1D所成的角；
（Ⅱ）若二面角D1﹣EC﹣D的大小為45°，求點B到平面D1EC的距離．

Answer 1

【答案】解：解法一：（Ⅰ）連結AD1 ． 由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D． ∵AB⊥平面AA1D1D，
∴AD1是D1E在平面AA1D1D內的射影．
根據三垂線定理得AD1⊥D1E，
則異面直線D1E與A1D所成的角為90°．
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足為F，連結D1F，則CE⊥D1F．
所以∠DFD1為二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．于是 ，
易得 Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，所以 ．
設點B到平面D1EC的距離為h，則由于 ，即f'（x），
因此有CED1Fh=BEBCDD1 ， 即 ，∴ ．
解法二：如圖，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．
（Ⅰ）由A1（1，0，1），得 ，
設E（1，a，0），又D1（0，0，1），則 ．
∵ ∴ ，則異面直線D1E與A1D所成的角為90°．
（Ⅱ） =（0，0，1）為面DEC的法向量，設 =（x，y，z）為面CED1的法向量，
則 ，
∴z2=x2+y2 ． ①
由C（0，2，0），得 ，則 ，即 ，∴2y﹣z=0②
由①、②，可取 ，又 ，
所以點B到平面D1EC的距離
【解析】解法一：（Ⅰ）連結AD1 ． 判斷AD1是D1E在平面AA1D1D內的射影．得到異面直線D1E與A1D所成的角．（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足為F，連結D1F，說明∠DFD1為二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．利用等體積法，求點B到平面D1EC的距離．解法二：分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．（Ⅰ）通過向量的數量積為0，即可求異面直線D1E與A1D所成的角；（Ⅱ） =（0，0，1）為面DEC的法向量，設 =（x，y，z）為面CED1的法向量，通過二面角D1﹣EC﹣D的大小為45°，求出x、y、z的關系，結合 ，求出平面的法向量，利用 求點B到平面D1EC的距離．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．