Question

【題目】已知橢圓的離心率為，是橢圓的左、右焦點，過作直線交橢圓于兩點，若的周長為8.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于點，求點的縱坐標的范圍；

（3）是否在軸上存在點，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）的縱坐標的范圍為;(3) .

【解析】

試題(1)由橢圓定義得的周長為，再結合離心率，列方程組解得，，，(2)先以直線的斜率表示它的中垂線方程（結合韋達定理求中點坐標），解出與軸交點，即為點的縱坐標： ，再根據基本不等式求取值范圍，注意討論斜率不存在的情形，(3)軸平分，等價于，再利用坐標表示可得兩根和與積的關系，最后根據韋達定理代入化簡可得的值.

試題解析：（1）依題意得，，解得，，，

所以橢圓方程為.

（2）當不存在時，為坐標原點，，

當存在時，由可得，

設，，

則，，（*）

設弦有中點為，則，，

則，

令，有 ，

綜上所述，的縱坐標的范圍為.

（3）存在滿足條件，

假設存在使得軸平分，則，

即 ，

有，

將（2）中（*）式代入有，

解得.