Question

【題目】某公司有一批專業技術人員，對他們進行年齡狀況和接受教育程度（學歷）的調查，其結果（人數分布）如表：

（1）用分層抽樣的方法在歲年齡段的專業技術人員中抽取一個容量為的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取人，求至少有人的學歷為研究生的概率；

（2）在這個公司的專業技術人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取個人，其中歲以下人，歲以上人，再從這個人中隨機抽取出人，此人的年齡為歲以上的概率為，求的值．

Answer 1

【答案】(1) 解: 用分層抽樣的方法在35～50歲中抽取一個容量為5的樣本, 設抽取學歷為本科的人數為，

∴, 解得. …… 2分

∴ 抽取了學歷為研究生2人，學歷為本科3人，分別記作S1、S2；B1、B2、B3.

從中任取2人的所有基本事件共10個: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),(S2, B2),

(S2, B3), (S1, S2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3).

其中至少有1人的學歷為研究生的基本事件有7個: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),

(S2, B2), (S2, B3), (S1, S2). … 4分

∴ 從中任取2人，至少有1人的教育程度為研究生的概率為. …… 6分

(2)解: 依題意得：，解得. …… 8分

∴ 35～50歲中被抽取的人數為. ∴. … 10分

解得. ∴. …… 12分

【解析】

試題（1）首先根據抽樣比計算35~50歲的人中，具有本科和研究生學歷的人分別是多少，然后將這5人按類別標號，列舉所有包含2人的方法種數，并計算其中至少有1人為研究生學歷的基本事件的個數，最后相除就是結果；（2）首先根據,計算,再計算35～50歲中被抽取的人數，這樣就知道35～50歲的抽樣比，而每一層的抽樣比都一樣，這樣計算．

試題解析：（1）用分層抽樣的方法在35～50歲中抽取一個容量為5的樣本，設抽取學歷為本科的人數為m，∴，解得m＝3．

∴抽取了學歷為研究生的2人，學歷為本科的3人，

分別記作S1、S2；B1、B2、B3．

從中任取2人的所有基本事件共10個：

（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），

（B2，B3），（B1，B3）．

其中至少有1人的學歷為研究生的基本事件有7個：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），

（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）．

∴從中任取2人，至少有1人的教育程度為研究生的概率為

（2）依題意得：，解得N＝78．

∴35～50歲中被抽取的人數為78－48－10＝20．

∴,解得x＝40，y＝5．∴x＝40，y＝5．