Question

已知向量

a

=（m，cos2x），

b

=（sin2x，n），函數f（x）=

a

•

b

，且y=f（x）的圖象過點（

π

12

，

3

）和點（

2π

3

，-2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個單位后得到函數y=g（x）的圖象，若y=g（x）圖象上的最高點到點（0，3）的距離的最小值為1，求y=g（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,正弦函數的單調性,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由題意可得 函數f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的圖象過點（

π

12

，

3

）和點（

2π

3

，-2），解方程組求得m、n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）=2sin（2x+2φ+

π

6

）的圖象，再由函數g（x）的一個最高點在y軸上，求得φ=

π

6

，可得g（x）=2cos2x．令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范圍，可得g（x）的增區間．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得 函數f（x）=

a

•

b

=msin2x+ncos2x，
再由y=f（x）的圖象過點（

π

12

，

3

）和點（

2π

3

，-2），可得

1 2 m+ 3 2 n= 3 - 3 2 m- 1 2 n=-2

．
解得 m=

3

，n=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=

3

sin2x+cos2x=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）=2sin（2x+

π

6

）．
將y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個單位后，
得到函數g（x）=2sin[2（x+φ）+

π

6

]=2sin（2x+2φ+

π

6

）的圖象，顯然函數g（x）最高點的縱坐標為2．
y=g（x）圖象上各最高點到點（0，3）的距離的最小值為1，
故函數g（x）的一個最高點在y軸上，
∴2φ+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，結合0＜φ＜π，可得φ=

π

6

，
故g（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x．
令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，
故y=g（x）的單調遞增區間是[kπ-

π

2

，kπ]，k∈Z．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，三角恒等變換，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，余弦函數的單調性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．