Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，以C為切點的切線交AB的延長線于點P，AM⊥CP，垂足為M，CD⊥AB，垂足為D．
（1）求證：AD=AM；
（2）若⊙O的直徑為2，∠PCB=30°，求PC的長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）通過證明△AMC≌△ADC，可得AD=AM；
（2）計算出PB，再利用切割線定理，求PC的長．

解答： （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ABC，
∵以C為切點的切線交AB的延長線于點P，
∴∠MCA=∠ABC=∠ACD，
∵∠AMC=∠ADC=90°，AC=AC，
∴△AMC≌△ADC，
∴AD=AM；
（2）解：∵∠PCB=30°，以C為切點的切線交AB的延長線于點P，
∴∠PAC=∠PCB=30°，
在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，
∴BC=1，∠ABC=60°，
∴∠BPC=30°，
∴∠BPC=∠BCP，BC=BP=1，
由切割線定理得PC²=PB•PA=PB（PB+BA）=3，
∴PC=

3

．

點評：本題考查三角形全等的證明，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．