Question

在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，2

3

sin

A

2

cos

A

2

+2cos²

A

2

=3．
（1）求角A；
（2）若a=

3

，sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C，cosC≠0，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）先利用倍角公式降冪，再利用兩角和的正弦化簡，然后結合A的范圍求解A的值；
（2）利用兩角和與差的正弦展開等式左邊，右邊展開二倍角正弦，化簡后由角的關系得到邊的關系，再結合余弦定理求得b，c的值，然后代入面積公式求面積．

解答： 解：（1）由2

3

sin

A

2

cos

A

2

+2cos²

A

2

=3．
得

3

sinA+cosA+1=3，即

3

sinA+cosA=2．
∴2(sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

)=1，
sin(A+

π

6

)=1．
∵A∈（0，π），
∴A+

π

6

=

π

2

，得A=

π

3

；
（2）由sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C，
得：sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC-cosBsinC=2sin2C．
2sinBcosC=4sinCcosC．
∴sinB=2sinC．
則b=2c  ①．
又a=

3

，
由a²=b²+c²-2bccosA，
得：(

3

)2=b2+c2-2bccos

π

3

，
即b²+c²-bc=3  ②．
聯立①②解得：b=2，c=1．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×1×

3

2

=

3

2

．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查了倍角公式，考查了余弦定理的應用，訓練了三角形面積的求法，是中檔題．