Question

已知函數f（x）=x³+3x|x-a|．
（1）當a=

1

2

時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若f（x）在區間[0，2]內有極小值，且極小值不小于2a²-

3

4

a，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）將函數轉化為分段函數，再利用導數確定函數的單調遞增區間；
（2）由x∈[0，2]，比較a與0，2的大小將函數轉化為分段函數；再逐段利用導數確定函數的單調性，從而確定函數的極小值．

解答： 解：（1）當a=

1

2

時，f(x)=

x3+3x2- 3 2 x， (x≥ 1 2 ) x3-3x2+ 3 2 x，(x＜ 1 2 )

，f′(x)=

3x2+6x- 3 2 (x≥ 1 2 ) 3x2-6x+ 3 2 (x＜ 1 2 )

，
    解不等式組

3x2+6x- 3 2 ＞0 x＞ 1 2

得x＞

1

2

； 解不等式組

3x2-6x+ 3 2 ＞0 x＜ 1 2

得x＜

2- 2

2

．
∴f（x）的遞增區間為(-∞，

2- 2

2

)和(

1

2

，+∞)．   
   （2）①當a≥2時，由0≤x≤2得f（x）=x³-3x²+3ax，f′（x）=3x²-6x+3a=3（x-1）²+3（a-1）＞0，
∴f（x）在區間[0，2]上遞增，∴f（x）沒有極值．
       ②當a≤0時，由0≤x≤2得f（x）=x³+3x²-3ax，f′（x）=3x²+6x-3a＞0，
∴f（x）在區間[0，2]上遞增，∴f（x）沒有極值．
       ③當1≤a＜2時，f(x)=

x3+3x2-3ax， (x≥a) x3-3x2+3ax，(x＜a)

，f′(x)=

3x2+6x-3a， (x≥a) 3x2-6x+3a， (x＜a)

，
∴f′(x)=

3x2+3x+3(x-a)＞0， (x≥a) 3(x-1)2+3(a-1)≥0， (x＜a)

，
∴f（x）在區間[0，2]上遞增，∴f（x）沒有極值．
 ④當0＜a＜1時，f(x)=

x3+3x2-3ax， (x≥a) x3-3x2+3ax，(x＜a)

，f′(x)=

3x2+6x-3a， (x≥a) 3x2-6x+3a， (x＜a)

，
 若x≥a，則 f′（x）=3x²+3x+3（x-a）＞0； 
若x＜a，由f′（x）=3x²-6x+3a＞0解得x＞1+

1-a

 或 x＜1-

1-a

，∴x＜1-

1-a

，
 由f′（x）=3x²-6x+3a＜0解得1-

1-a

＜x＜1+

1-a

，∴1-

1-a

＜x＜a，
∴f（x）在區間(0，1-

1-a

)上遞增，在區間(1-

1-a

，a)上遞減，在區間（a，2）上遞增．
∴當x=a時，f（x）取得極小值f（a）=a³，∴a3≥2a2-

3

4

a，解得0＜a≤

1

2

．
綜上所述，實數a的取值范圍為(0，

1

2

]．

點評：本題考查了利用導數確定函數單調性與極值的方法．根據a是否在區間[0，2]內以及導數為0的點是否在區間[0，2]內是分類求解的基本依據，也是解決本題的關鍵所在．